已知双曲线T：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)离心率为e,圆O：x²+y²=R²（R＞0）．
（1）若e=2，双曲线T的右焦点为F（2，0），求双曲线方程；
（2）若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求

b2

a2

的值；
（3）若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=

π

2

，求离心率e的取值范围．