已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，且过点(

3

，

1

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点．
①若点P在直线x=

1

2

上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标；
②求证：当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．