设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，F为椭圆E的右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过F且斜率为k的直线与椭圆E交于D，G两点，若满足AD⊥AG，求k的值；
（3）过点P（2，0）的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：x=t的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记△BMP，△MNP，△CNP的面积分别为S₁，S₂，S₃，试问：是否存在常数t,使得S₁，

1

2

S2，S₃总成等比数列？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．