某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

		语文成绩		合计
		优秀	不优秀
数学成绩	优秀	45	35	80
	不优秀	45	75	120
合计		90	110	200

（1）根据α=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用L(B|A)=

P(B|A)

P( B |A)

表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计学中称为似然比．现从该校学生中任选一人，设A=“选到的学生语文成绩不优秀”，B=“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计L（B|A）的值．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

α	0.05	0.01	0.001
xa	3.841	6.635	10.828

四棱锥P-ABCD中，PB=PD²=AB=2BC=2CD=2，AB∥CD，∠ABC=90°．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）当PD⊥平面ABCD时，求直线PC与平面PAD所成的角的正切值．

某公司通过游戏获得积分以激励员工．游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案．
方案一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；
方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分．
（1）某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？
（2）若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为Y，当P（Y=k）取得最大值时，求k的值．

近年来，各种类型的网约车服务在我国各城市迅速发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在某地的发展情况，某调查机构从该地抽取了6个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x,y,经过统计分析，它们满足最小二乘法，且y关于x的经验回归方程为

̂

y

=1.2x+40.6．
（1）预测当A指标数为52时，B指标数的估计值．
（2）试求y与x之间的相关系数r,并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|＞0.75，则线性相关程度较强）．
附：参考数据：

6 i=1 (xi- x )2

=11，

6 i=1 (yi- y )2

=15．
相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间[85，100]内为“体质优秀”，在[75，85）内为“体质良好”，在[60，75）内为“体质合格”，在[0，60）内为“体质不合格”．现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：

学生编号	1	2	3	4	5	6
测试成绩	60	85	80	78	90	91

（Ⅰ）若该校高二年级有600名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数：__________；
（Ⅱ）若从这6名学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X的分布列；
（Ⅲ）求（Ⅱ）中X的均值．

高尔顿钉板装置如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板底部的格子中，格子从左到右依次编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码．
（Ⅰ）当X=4时，求小球向右下落的次数；
（Ⅱ）求X的分布列；
（Ⅲ）求E（X）．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B=2，O为A₁B的中点，点E在A₁C上，A₁C=3A₁E，点P在直线A₁A上，对于线段BC₁上异于两端点的任一点D，恒有PD∥平面AOE．

（1）求证：平面PBC₁∥平面AOE；
（2）当△A₁PB的面积取得最大值时，求二面角C₁-BP-A的余弦值．

某种电子玩具启动后，屏幕上的显示屏会随机亮起红灯或绿灯，在玩具启动前，用户可对P（0＜P＜1）赋值，且在第一次亮灯时，亮起绿灯的概率为P，亮起红灯的概率为1-P，随后若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为

3

4

，亮起绿灯的概率为

1

4

，若第n次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为

1

4

，亮起绿灯的概率为

3

4

．
（1）若输入P=

1

2

，该玩具启动后，记前3次亮灯中亮绿灯的次数为X，求X的分布列与期望；
（2）在玩具启动后，若某次亮灯为绿灯，且亮绿灯的概率在区间(

511

1024

，

1

2

)内，则玩具会自动播放歌曲，否则不播放，现输入P=

1

4

，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛．每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分．经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为

1

4

，

1

2

，

1

4

，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为

1

4

，

3

4

．
（1）设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为

1

4

，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB=

1

2

CD，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45°，AD=

2

，BE=

3

．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（2）求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．