如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为

2

9

？

意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，AB为半圆的直径，C，D为半圆弧上的点，AB=4，∠CBA=∠BAD=60°，阴影部分为弦BC，CD，DA与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径AB所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．
（1）写出该几何体的主要结构特征（至少两条）；
（2）计算该几何体的体积．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P为CC₁的中点，A₁B₁=3，B₁C₁=4，A₁C₁=5．
（1）证明：A₁B₁⊥平面BB₁C₁P．
（2）若四棱锥A₁-BB₁C₁P的体积为12，求BB₁．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为棱PB的中点．证明：
（1）AE⊥平面PBC；
（2）平面PAD⊥平面PCD．

如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AC=BC=2，AB=2

2

，AD=4，M、N分别为AD、CF的中点．求证：AN⊥平面BCM．

几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角，BC=CD=2，∠BCD=120°，M为线段AE的中点．
（1）求证：DM∥平面BEC；
（2）线段EB上是否存在一点N，使得D，M，N，C四点共面？若存在，请求出

BN

BE

的值；若不存在，并说明理由．

已知在圆锥SO中，底面⊙O的直径AB=12，△SAB的面积为48．
（1）求圆锥SO的表面积；
（2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，且侧面PAD⊥面ABCD，O是AD的中点，2AB=2BC=AD=PA=PD．
（1）求证：平面PAC⊥平面POB；
（2）当AB=2时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥P-ABM的体积为

3

3

，若存在，请求出

PM

PC

的值，若不存在，请说明理由．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，点F为棱PC上的动点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBE；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD．
①当点F恰为PC中点时，求异面直线PD与BF所成角的余弦值；
②在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时

BH

BP

的值．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，M为DD₁的中点，
（1）求三棱锥M-ABC的体积；
（2）若N为CC₁的中点，求证：平面AMC∥平面BND₁．