如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁上的点（点E与点C，C₁不重合）．
（1）在图中作出平面AD₁E与平面ABCD的交线，并说明理由；
（2）若正方体的棱长为1，平面AD₁E与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

3 22

22

，求线段CE的长．

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=

1

2

AD=2，∠BAD=∠ABC=90°，O是AD的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面POB；
（2）点M在棱PC上，满足PM=λPC（0＜λ＜1），且三棱锥P-ABM的体积为

3

3

，求λ的值及二面角M-AB-D的正切值．

为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．

	经常锻炼	不经常锻炼	总计
男	35
女		25
总计			100

已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为

1

2

．
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中，n=a+b+c+d.

α=P（χ2≥k0）	0.1	0.05	0.01	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

甲、乙，丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为p₁，p₂，p₃，且0＜p₃＜p₂＜p₁＜1，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束．
（1）按甲、乙、丙的顺序制作陶器，若p1p2=

2

9

，p1∈[

2

3

，1)，求制作陶器人数X的数学期望的最大值．
（2）若这种陶器制作成功后需要检测合格才能上市销售，如果这种陶器可以上市销售，则每件陶器可获利100元；如果这种陶器不能上市销售，则每件陶器亏损80元，已知甲已经制成了4件这种陶器，且甲制作的陶器检测合格的概率为

2

5

，求这4件陶器最终盈亏Y的概率分布和数学期望．

小明参加一个挑战游戏，他每次挑战成功的概率均为p（0＜p＜1）．现有3次挑战机会，并规定连续两次挑战均不成功即终止挑战，否则继续下一次挑战．已知小明不放弃任何一次挑战机会，且恰好用完3次挑战机会的概率是

21

25

．
（1）求p的值；
（2）小明每挑战成功一次，可以获得500元奖励，记其获得的奖励金额为X，求X的分布列及数学期望．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁为矩形，AB⊥AC且AB=AC=2，D为B₁C₁的中点，AA1=B1C=2

2

．
（1）证明：AC₁∥平面A₁BD；
（2）求平面AB₁C与平面A₁BD的夹角的余弦值．

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，∠CBA=90°，SA=AB=BC=2，SC=2

3

，D、E分别为SB，AB的中点．
（1）求证：SB⊥BC；
（2）求二面角E-DC-B的正弦值．

已知函数f（x）=x²+2kx+4．
（1）若函数f（x）在区间[1，4]上是单调递增函数，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．

已知函数f（x）=x²+2ax+3，x∈[-4，6]．
（1）当a=-2时，求f（x）的最值；
（2）当a=4时，判断y=f（x）在区间[-4，6]上的单调性，并用定义法证明你的结论．

关于x的方程x²-px+10=0（p∈R）的两根分别为x₁，x₂．
（1）若x₁=3+i,求实数p的值；
（2）若|x₁-x₂|=2，求实数p的值．