新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分．对而不全得2分，选项中有错误得0分．设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为p（0＜p＜1），有3个选项正确的概率为1-p,没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）．在一次模拟考试中：
（1）小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为

1

12

，求p；
（2）小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择．小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个．若p=

5

12

，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？

为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为

3

4

，且每次答题结果互不影响．
（Ⅰ）求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
（Ⅱ）设学生甲第i次答题所得分数X_i（i∈N^*）的数学期望为E（X_i）．
（i）求E（X₁），E（X₂），E（X₃）；
（ii）写出E（X_i-1）与E（X_i）（i≥2）满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（iii）若E（X_i）＞10，求i的最小值．

从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如下表：

编号	1	2	3	4	5	6	7
身高x	163	164	165	166	167	168	169
体重y	52	52	53	55	54	56	56

（1）求y关于x的回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重．
参考公式：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x • y

n i=1 x 2 i -n x 2

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k-1（k∈N^*）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0＜p＜1），各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为P_k（例如：p₂表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p₃表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率p=

2

3

．
①当k=2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；
②计算p₃．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为

1

4

，每件高端产品的利润是2元．请用p_k表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析一下能否提高利润．

立德小学的课外活动室里有一些“塑料珠子”和“纸盒”．王宁同学正在玩珠子投纸盒的游戏，将5个不同的塑料珠子投入编号为1，2，3，4，5的5个纸盒中，试问：
（Ⅰ）一共有多少种不同的投法？
（Ⅱ）恰有1个空盒的投法共有多少种？

某学习平台开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”答题模块后，共需答题两轮，每轮开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每轮答题结束时，根据答题情况四人分获第一、二、三、四名．首轮中的第一名积5分，第二、三名均积3分，第四名积1分；第二轮中的第一名积3分，其余名次均积1分．两轮的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分．假设小李在首轮获得第一、二、三、四名的可能性相同；若其首轮获得第一名，则第二轮获得第一名的概率为

1

3

，若其首轮没获得第一名，则第二轮获得第一名的概率为

1

4

．
（Ⅰ）设小李首轮的得分为X，求X的分布列；
（Ⅱ）求小李在“四人赛”中的总得分的期望．

第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（单位：分），得到如图的频率分布直方图．
（1）现从该样本中随机抽取2人的成绩，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），σ≈9.5，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有10万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过90.5分的人数（结果精确到个位）；
②现从所有参赛的大学生中随机抽取5人进行座谈，设其中竞赛成绩超过81分的人数为Y，求随机变量Y的期望．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．

人类命运共同体的提法将中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当．在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标“），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为y=4.7x-9459.2，且销量y的方差为

s

2 y

=

254

5

，年份x的方差为

s

2 x

=2．
（1）求y与x的相关系数r,并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

性别	购买非电动汽车	购买电动汽车	总计
男性	39	6	45
女性	30	15	45
总计	69	21	90

依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
①参考数据：

5×127

=

635

≈25；
②参考公式：（i）线性回归方程：y=

̂

b

x+a,其中

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，a=

y

-

̂

b

x

；
（ii）相关系数：r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yt- y )2

，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强．
③参考临界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

如图1，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM=2MA，AN=2NC．
如图2，将△AMN沿MN折起到△A'MN的位置，连接A'B，A'C．
（1）求证：平面A'BM⊥平面BCNM；
（2）给出三个条件：①A'M⊥BC；②二面角A'-MN-C的大小为60°；③A'到平面BCNM的距离为

2

2

．从中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：
在线段A'C上是否存在一点P，使三棱锥A'-PMB的体积为

3

4

？若存在，求出

A′P

A′C

的值；若不存在，请说明理由．

如图（1），在▱ABCD中，AD=2BD=4，AD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P处，如图（2）．

（1）若PC=6，求证：PD⊥BC；
（2）若PC=2

5

，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．