如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C与侧面C₁B₁BC均为边长为2的正方形，D、E分别是AB、BB₁的中点，且AB=2

2

．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D-A₁C-E的正切值．

第24届冬奥会于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障．在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩分五组，第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a,b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；
（2）已知抽取的100名候选人中，男生50人，且希望参加张家口赛区志愿服务的有10人，女生不希望参加张家口赛区志愿服务的有30人，补全下面2×2列联表，试根据小概率值α=0.050的独立性检验，分析参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别是否有关？

	男生	女生	总计
希望去张家口赛区	10
不希望去张家口赛区		30
总计	50

参考数据及公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

α	0.050	0.010	0.001
xα	3.841	6.635	10.828

如图，在正三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AB=2A₁B₁=4，AA₁=

13

．
（1）证明：AA₁⊥BC．
（2）过B₁C₁的平面α交AB，AC分别于E，F，若AA₁∥平面α，求直线BB₁与平面α所成角的正弦值．

为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关．现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查．

分数	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
人数	10	15	45	20	10

（1）求样本中学生分数的平均数

x

（每组数据取区间的中点值）；
（2）假设分数Z近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本的平均数

x

（每组数据取区间的中点值），σ²近似为样本方差s²≈21²，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在（30，72）内的学生数（结果四舍五入）；
（3）学校规定：分数在[60，100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分．在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为

3

4

，同学之间第二关闯关是相互独立的．从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
（参考数据：若随机变量Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974）

某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会．
（1）记甲进行抽球的轮次数为随机变量X，求X的分布列；
（2）按照三轮中奖概率由小到大分别发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望．

随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：

	选择新能源汽车	选择传统汽车	合计
40岁以下		35
40岁以上（包含40岁）	40		100
合计			200

（1）完成2×2列联表，并判断依据α=0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；
（2）若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人按照是否选择新能源用分层抽样的方式抽取5人参加幸运抽奖活动，再从5个人中抽出两名幸运奖，X表示得到幸运奖的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d．

α	0.100	0.050	0.010	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	10.828

从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）
（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．

某企业2021年经营业绩和上年同期相比增长速度加快，在手和预期订单好过去年，工厂满负荷生产．企业想让员工通过加班生产，来满足客户交货需求．为了了解员工对加班的态度，随机抽取了200名员工进行调查，所得数据如下表所示：

	愿意加班	不愿意加班	合计
家庭条件一般		40	100
家庭条件挺好	30
合计

（1）完成上面的列联表；
（2）能否有99.9%的把握认为员工“是否愿意加班”与员工家庭条件有关？
（3）利用分层抽样在愿意加班的员工中随机抽取3名，再在这3名员工中任意抽取2名员工，求这2名员工家庭条件不一样的概率．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

“五一”假期，各地掀起了旅游的热浪，“淄博烧烤”，“洪崖洞宠粉”等等冲上热搜．现调查性别因素是否对市内外旅游的选择有影响，在某旅行团抽取了五一期间出行旅游的100名游客，男性50人，女性50人，其中男性有40%选择在重庆市内旅游，在重庆市外旅游的游客中，男女的比例为2：1，完成下列的2×2列联表，并回答相关问题．

性别	旅游地选择		合计
	重庆市内	重庆市外
男性
女性
合计

（1）依据小概率α=0.010的独立性检验，能否认为性别对重庆市内外旅游的选择有关联？
（2）从选择重庆市外旅游的游客中按性别进行分层抽样，抽取了6名游客，再从这6名游客中抽取3名游客，记X为其中女性游客的人数，求P（X≥1）．
附：参考公式及数据：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.40	0.25	0.10	0.010	0.005	0.001
k0	0.708	1.323	2.706	6.635	7.879	10.828

某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如表：

产品等级	一等品	二等品	三等品
样本数量（件）	50	30	20

（Ⅰ）若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
（Ⅱ）若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，Y为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望EY．