如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点．将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．
（1）求证：PD⊥平面PEF；
（2）若AB=6，且K为PD的中点，求三棱锥K-EFD的体积．

在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2AB=2BC，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
（2）若△PCD的面积为8

7

，求三棱锥P-ABC的体积．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD=2AB=2BC，E是PD中点．求证：
（1）CE∥平面PAB；
（2）平面PCD⊥平面ACE．

如图，底面边长为6的正三棱锥S-ABC的表面积为36+9

3

，点E，F，G分别满足

BE

=

2

3

BC

，

AG

=

1

5

AS

，

BF

=

1

5

BS

，平面EFG交AC于点M．
（1）判断点M的位置，并证明；
（2）求三棱锥E-BGM的体积．

如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，AB=2，M是

CD

上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMC⊥平面AMD；
（2）当三棱锥M-ABC的最大体积为

3

3

时，求直线DM与平面MAB所成角的余弦值．

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：AC⊥平面B₁BDD₁；
（2）求三棱锥B-ACB₁体积．
（3）在对角线B₁D₁上是否存在点E，满足DE∥平面AB₁C成立，若存在，求出E点的具体位置，若不存在，说明理由．

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点，经过A，D₁，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁P∥α．
（1）设平面BCC₁B₁∩α=l,求证：AD₁∥l；
（2）平面α将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分成两部分，求这两部分的体积之比

V1

V2

（其中V₁≤V₂）；
（3）当A₁P最小时，求三棱锥P-AA₁D₁的外接球的表面积．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁为正方形，平面BCC₁B₁⊥平面ABB₁A₁，M，N分别为A₁B₁，AC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：AB⊥BB₁．
条件①：AB⊥MN；条件②：AB=BC，BM=MN．

小明对圆柱中的截面进行一番探究．他发现用平行于底面的平面α去截圆柱可得一圆面，用与水平面成一定夹角φ的平面β去截可得一椭圆面，用过轴的平面去截可得一矩形面．
（1）图1中，圆柱底面半径为

3

，高为2，轴截面为ABCD，设Q为底面（包括边界）上一动点，满足Q到A的距离等于Q到直线DB的距离QH，求三棱锥Q-ABD体积的最大值；
（2）如图2，过圆柱侧面上某一定点O的水平面α与侧面交成为圆C₁，过O点与水平面成φ角的平面β与侧面交成为椭圆C₂，小明沿着过O的母线MN前开，把圆柱侧面展到一个平面上，发现圆C₁展开后得到线段OO'，椭圆C₂展开后得到一正弦曲线（如图3），设P为椭圆上任意一点，他很想知道原因，于是他以O为原点，OO'为x轴建立了平面直角坐标系，且设P（x,y）（图3）．试说明为什么椭圆C₂展开后是正弦曲线，并写出其函数解析式y=f（x）．

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=∠CDA=30°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA=2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E-AC-B的大小．