如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点．
（1）求证：AG⊥平面PCD；
（2）求直线AC与平面PCD所成角．

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=3，BC=4．F为BC中点，E为线段AD上的点，且AE=1．
（1）求证：平面PAD⊥平面PEF．
（2）已知PD=

13

．求直线AC和平面PAD所成角的正弦值．

为了响应节能环保的号召，一汽车生产企业自主研发电动汽车，现要研究普通家用汽车在高速公路上行驶时的车速情况，借用交通部门的相关数据进行研究，对100名家用汽车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．

	平均车速超过 100km/h人数	平均车速不超过 100km/h人数	合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计

（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
参考公式与数据K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	…	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	…
k0	…	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	…

某商场为吸引顾客，举办抽奖活动，规则如下：盒子中有形状、大小相同的5个球，其中2个红球、3个白球，顾客每次从中随机抽取一个球，并放回盒子中，继续抽取，若连续2次抽中红球则停止抽奖，顾客获得30元优惠券；若连续两次抽中白球则停止抽奖，顾客获得20元优惠券；若抽取3次未出现连续抽中相同颜色的球，也停止抽取，顾客获得10元优惠券．某顾客参与抽奖活动．
（1）求该顾客抽取2次结束抽奖的概率；
（2）该顾客获得的优惠券金额为X，求X的分布列和数学期望．

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，E是A₁D₁的中点，F为线段BC上一点，AB=2，AA₁=1，∠BAD=60°．
（1）证明：当BF=FC时，D₁F∥平面AEB；
（2）若BF=

1

4

BC，求二面角A-DE-F的余弦值为 __________．

解方程（1）

C

4 10

=

C

x+2 10

；
（2）

P

4 2n+1

=126

P

3 n

．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，E，F分别为A₁B，A₁C的中点，D为B₁C₁上的点，且A₁D⊥B₁C．
（1）求证：平面A₁FD⊥平面BCC₁B₁；
（2）若三棱柱所有棱长都为a,求二面角A₁-B₁C-C₁的平面角的正切值．

2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为

3

5

．现他有3次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会．已知甲不放弃任何一次点球机会．
（1）求甲恰好用完3次点球机会的概率；
（2）甲每次点球成功一次，可以获得50积分，记其获得的积分总和为X，求X的分布列和数学期望．

某中学初三年级有学生1500人，其中男生占总人数的70%，为调查该校学生中考前一周每天睡眠时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生的睡眠时间样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位男生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生睡眠时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生中考前一周平均每天睡眠时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的平均睡眠时间超过4小时，请完成中考前一周目均睡眠时间与性别列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的考前一周日均睡眠时间与性别有关”．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列

X	-1	0	1
P	0.1	0.8	0.1

乙品牌的走时误差分布列

Y	-2	-1	0	1	2
P	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

（1）求E（X）和E（Y）；
（2）求D（X）和D（Y），并比较两种品牌手表的性能．