某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y=α+βx²，②y=e^λx+t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量x_i和年销售额y_i（i=1，2，⋯，12）的数据作了初步处理，令u=x²，v=lny,经计算得到如下数据：

x	y		12 i=1 (xi- x )2	12 i=1 (yi- y )2	u		v
20	66		770	200	460		4.2
12 i=1 (ui- u )2		12 i=1 (ui- u )(yi- y )		12 i=1 (vi- v )2		12 i=1 (xi- x )(vi- v )
3125000		21500		0.308		14

（1）设u和y的样本相关系数为r₁，x和v的样本相关系数为r₂，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程；
（ⅱ）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？
参考数据为308=4×77，

90

≈9.4868，e^4.4998≈90．
相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 • n i=1 (yi- y )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2 • n i=1 y 2 i -n y 2

．

某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐．如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．
（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
（2）王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，6种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X，求P（X≥1）．

如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，BC∥AD，AD=4BC=4，AP=2，PA⊥底面ABCD，平面PAC⊥平面PCD，点E在棱PD上，且PD=4PE．
（1）证明：CE∥平面PAB；
（2）求二面角P-CD-A的正弦值．

移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查，得到2×2列联表如下：

	35岁以下（含35岁）	35岁以上	合计
使用移动支付	40		50
不使用移动支付		40
合计			100

（1）将上面的2×2列联表补充完整，并通过计算，说明是否有99.9%的把握认为支付方式与年龄有关？
（2）在使用移动支付人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步问卷调查，从这10人中随机选出2人中，设年龄低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望．
参考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.
参考临界值表：

P（K2≥k）	0.5	0.4	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=

π

3

，把△ABC沿着AC翻折至△AB₁C的位置，构成三棱锥B₁-ACD，且

DE

=

1

2

DB1

，

CF

=

1

3

CD

，EF=

37

2

．

（1）证明：AC⊥B₁D；
（2）求二面角B₁-AC-D的大小；
（3）求EF与平面AB₁C所成角的正弦值．

某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图．
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有

5

6

是“年轻人”．
（1）根据如图的数据，补全下方2×2列联表，并依据显著性水平α=0.05的独立性检验，分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？

	年轻人	非年轻人	总计
健身达人
健身爱好者
总计			100

附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d,p（χ²≥k）≈α，α与k的若干对应数值见表：

α	0.25	0.05	0.005
k	1.323	3.841	7.879

（2）该连锁机构随机选取3名会员进行回访．设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数，求X的分布及其期望．

某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了80k（k∈N^*）人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的

3

5

，女生中喜欢足球的人数占女生的

1

3

．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关．
（1）请完成下面的列联表，并求出k的值；

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生
女生
合计

（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取4人，记其中喜欢足球的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（χ2≥k0）	0.10	0.05	0.01	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

甲、乙两人进行猜灯谜游戏，每次猜同一个灯谜，若一人猜对另一人猜错，则猜对的人得1分，猜错的人得-1分，若两人都猜对或都猜错，则为平局，两人均记0分，已知游戏中，每次甲猜对的概率都为

3

4

，每次乙猜对的概率都为

2

3

，且甲、乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜的结果也互不影响．
（1）求在1次游戏中，甲的得分ξ的分布列和期望；
（2）求在3次游戏中至少有一局为乙赢的条件下甲得分之和为正的概率．

抛物线C：y²=2px（p＞0，p为定值）焦点为F，C与直线y=x+m相交于A，B两点，M为AB中点．过M作x轴的垂线，垂足为N；过M作AB的垂线，交x轴于P，则（　　）

定义在R上的函数f（x）、g（x），其导函数分别为f′（x）、g′（x），若f（x）=f（-x），g（-1）=1，f（x）+g'（x-1）=x²-1，f'（x）+g（x+1）=x-sin

π

2

x,则（　　）