某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．若a,b,c成等差数列，且成绩在区间[80，90）内的人数为120．
（Ⅰ）求a,b,c的值；
（Ⅱ）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（Ⅲ）若用频率估计概率，从该中学学生中抽取5人，成绩在区间[90，100]内的学生人数为X，求X的数学期望．

如图1，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=

2π

3

，E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB．将△BEF沿EF翻折到△B'EF的位置，如图2．

（1）当AB'=

2

时，证明：平面B'AE⊥平面ABC；
（2）已知二面角B'-EF-A的大小为

π

4

，棱AC上是否存在点M，使得直线B'E与平面B'MF所成角的正弦值为

10

10

？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．

汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份t	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码x（x=t-2016）	1	2	3	4	5
销量y/万辆	10	12	17	20	26

（1）统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽油车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有ω名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
①若ω=95，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p,若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为f（p），求当w为何值时，f（p）最大．
附：

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

为回归方程，

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x ⋅ y

n i=1 x 2 i -n x2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

在如图所示的圆柱MN中，AB为圆M的直径，C，D是

AB

上的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱MN的母线．
（1）求证：FM∥平面ADE；
（2）若BC=1，已知直线AF与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A-FB-C的余弦值．

国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到下面的列联表：
单位：人

性别	运动时间		合计
	运动达人	非运动达人
男生	1100	300	1400
女生	400	200	600
合计	1500	500	2000

零假设为H₀：运动时间与性别之间无关联．根据列联表中的数据，算得χ²≈31.746，根据小概率值α=0.001的χ²独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（1）如果将表中所有数据都缩小为原来的

1

10

，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因．
（2）采用样本性别比例分配的分层随机抽样抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为：男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.
临界值表：

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，△ADP是等边三角形，AB=AP=2，BP=3，AD⊥BP．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．

世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有20%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有30%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有50%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4．
（1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（2）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（3）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X～N（4，σ²），现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率．

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是棱AA₁，BB₁上的点，A1E=BF=

1

3

AA1．
（1）证明：平面CEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AC=AE=2，求二面角E-CF-C₁的余弦值．

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a,AD=

2

a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2），
（1）若λ=1，求AC和BE所成角的余弦值；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面SCD所成的角为φ，求出

tanφ

tanθ

的最大值，并指出此时的λ取值

已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=4，AD=CD=2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
（1）证明：BE⊥平面AECD；
（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为

2

3

，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．