已知函数f（x）=ae^x-2x,其中e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并说明理由；
（2）当x≥0时，f（x）≥a（1-sinx）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ae^x+bx-2的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）+f（2x）＞6x+m对x∈R恒成立，求m的取值范围．

已知点(1，

3

2

)在椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且E的离心率为

1

2

．
（1）求E的方程；
（2）设F为椭圆E的右焦点，点P（m,n）是E上的任意一点，直线PF与直线3mx+4ny=0相交于点Q，求|PQ|的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，长轴的长度为4，离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（1，0），过点P做两条直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆C交于A、B两点，直线l₂与椭圆C交于D、E两点，AB的中点为M，DE的中点为N；若直线l₁与直线l₂的斜率之积为

1

3

，判断直线MN是否过定点．若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

已知函数f（x）=2xlnx-2ax²，a∈R．
（1）当a=

1

2

，求f（x）的单调递减区间；
（2）若f(x)≤

f′(x)

2

-lnx-1在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=2lnx+ax²-ax.
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设x₁，x₂（0＜x₁＜x₂）是函数f（x）的两个极值点，证明：f(x1)-f(x2)＜

a

4

-2lna+4．

已知函数f(x)=

a

2

e2x+(a-1)ex-x-

1

2

(a∈R)．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

设函数f（x）=x³+x²+ax在x=0处取极值，a∈R．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的极值，并写出f（x）的单调区间．

已知过点P（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为8．
（1）求圆心到直线l的距离；
（2）求直线l的方程．

已知函数f（x）=x³-3x²+4-a,a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x∈[0，4]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．