已知曲线C上动点M与定点F(-

2

，0)的距离和它到定直线l1：x=-2

2

的距离的比是常数

2

2

，若过P（0，1）的动直线l与曲线C相交于A，B两点．
（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程；
（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得

|QA|

|QB|

=

|PA|

|PB|

恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

已知坐标平面xOy上左、右焦点为（-4，0）、（4，0）的双曲线C₁：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m,n＞0)和圆C₂：x²+（y-a）²=9（a∈R）．
（1）若C₁的实轴恰为C₂的一条直径，求C₁的方程；
（2）若C₁的一条渐近线为y=

3

x,且C₁与C₂恰有两个公共点，求a的值；
（3）设a=5．若存在C₂上的点P（x₀，y₀），使得直线l_P：

x0x

m2

-

y0y

n2

=1与C₁恰有一个公共点，求C₁的离心率的取值范围．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且顶点到渐近线的距离为

2 5

5

，点P是双曲线C右支上一动点（不与A₂重合），且满足PA₁，PA₂的斜率之积为4．
（1）求双曲线C的方程．
（2）过点Q（-2，0）的直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，若E是线段MN的中点，F是线段MN上一点，且

|MF|

|NF|

=

|MQ|

|NQ|

，O为坐标原点，试判断直线OE，OF的斜率之积是否为定值．若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由．

已知函数f（x）=x³-3x²+6．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax+a.
（1）若函数y=f（x）在点x=1处的切线倾斜角为

π

4

，求a的值；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的最大值．

已知函数f(x)=

1

2

ax2-lnx-1与函数g（x）=e^x-ax有相同的最小值．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ex-

ax2

1+lnx

＜0的解集．

已知圆x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦．
（1）当α=

3π

4

时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P₀平分时，写出直线AB的方程．

已知函数f(x)=

1

3

x3-4x+4．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-3，4]上的最大值和最小值．

设椭圆M：

y2

4

+

x2

b2

=1(0＜b＜2)的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=

2

x+m交椭圆M于A、B两点，点P（1，t）（t＞0）为椭圆M上的一点，求△PAB的面积取最大值时的直线方程．

已知函数f（x）=xcosx.
（1）当x∈（0，π）时，求证：f（x）＜sinx；
（2）证明：w（x）=f'（x）在(0，

π

2

)上单调递减；
（3）求证：当x∈(0，

π

2

)时，方程f(x)-

1

2

=0有且仅有2个实数根．