小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线x=t（t≥0）和以点F（1，0）为圆心，t+1为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一t值的圆的交点形成的轨迹很熟悉．
（1）求上述交点的轨迹M的方程；
（2）过点F作直线交此轨迹M于A、B两点，点A在第一象限，且

AF

=2

FB

，轨迹M上一点P在直线AB的左侧，求三角形ABP面积的最大值．

已知函数f（x）=ax²+（a-2）x-lnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点x₁，x₂，证明：x1+x2＞

2

a

．

对于函数y=f（x）的导函数y′=f′（x），若在其定义域内存在实数x₀，t,使得f（x₀+t）=（t+1）f'（x₀）成立，则称y=f（x）是“跃点”函数，并称x₀是函数y=f（x）的“t跃点”．
（1）若m为实数，函数y=sinx-m,x∈R是“

π

2

跃点”函数，求m的取值范围；
（2）若a为非零实数，函数y=x³-2x²+ax-12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值；
（3）若b为实数，函数y=e^x+bx,x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围．

已知函数f（x）=（x-1）e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设h（x）=f（x）-aln（x-1）-ax,其中a＞0，若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

已知等差数列{a_n}，S_n是数列{a_n}的前n项和，且S₂=6，S5=

15

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值，并求S_n取最大值时n的值．

椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若F₁、F₂分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且

PF1

•

PF2

=1，求点P的坐标；
（3）如果l：y=x+m被椭圆C截得的弦长

4 5

3

，求该直线的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，P(1，-

3

2

)在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆左顶点为A，过点B（-1，0）且不平行于x轴的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x=-4的交点分别为M，N，试判断点B与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2

，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．
（1）求C的方程；
（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x²+y²=a²分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S₁，△AMN的面积为S₂，求

S1

S2

的取值范围．

已知f（x）=axe^2x（a∈R）．
（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若关于x的不等式f（x）-2x-lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．

设全集U={x∈Z|-1≤x≤5}，集合A={x∈R|（x-1）（x-2）=0}，集合B={x∈N|

4-x

2

＞1}，分别求集合∁_UA、A∪B、A∩B．