已知二项式(

x

+

1

2 x

)8．
（1）求展开式中的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项．

如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且ABEF为等腰梯形，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）当AD的长为何值时，平面CDF与平面BCF的夹角的大小为

π

4

．

前进中学某班选派16名学生参加书法、唱歌、朗诵、剪纸、绘画五场（同时进行）比赛，其中3人参加书法比赛，5人参加唱歌比赛，2人参加朗诵比赛，2人参加剪纸比赛，4人参加绘画比赛．
（1）从参加比赛的学生中任选3人，求其中一人参加剪纸比赛，另外2人参加同一项比赛的概率；
（2）如果该中学可以再安排3名教师选择参加上述比赛，假设每名教师选择参加各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的，记参加书法或唱歌比赛的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

已知函数f（x）=ax³+3x²+12x-9（a∈R）的两个极值点x₁，x₂满足x₁=-2x₂．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最值．

设x=1与x=-2是函数f（x）=ax³+bx²-2x（a≠0）的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）设g（x）=f'（x），求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

已知函数f（x）=2（x-3）e^x-x+2lnx+5．
（1）判断f（x）在(

1

2

，+∞)上的单调性；
（2）若0＜x＜2，求证：f(x)＜-

1

2

-2ln2．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，P(-

10

，4)是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m（m＞0）与C交于E，F两点，O为坐标原点，若

OE

⋅

OF

=4，判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

已知函数f（x）=alnx+ax+1．
（1）当a=1时，求f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若不等式f（x）≤xe^x恒成立，求a的取值集合．

已知函数f（x）=（x-1）e^x．
（1）求f（x）在点（1，f（x））处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积；
（2）若函数F（x）=f（x）-k（x+1）有两个不同的极值点x₁，x₂．
①求k的取值范围；
②证明：F(x1)+F(x2)＞-

4

e

．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，F₁，F₂分别为C的左，右焦点，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，△F₂MN的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点G（3，0）且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，H两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得∠ETO=∠HTG．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．