某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	28	36	52	56	78

（1）求y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？
参考数据：

5

i=1

x

2 i

=145，

5

i=1

y

2 i

=14004，

5

i=1

xiyi=1420．
附：回归方程

̂

y

=

̂

y

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

2023年五一期间，某商城举办了一次有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球3个，白球2个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个红球2个黑球，则打8.8折；其余情况不打折；
方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减1500元．
（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
（2）若某顾客消费怡好满1万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．

某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的

5

6

，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的

1

3

．
（1）若依据小概率值α=0.005的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物．两个团队各至多排2个接种周期进行试验．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p（0＜p＜1），每人每次接种花费m（m＞0）元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体测终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体概率为q（0＜q＜1），每人每次花费n（n＞0）元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期、假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．当n=

2

3

m，p=q时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d为样本容量）
参考数据：已知函数

α	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.897	10.828

今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”．围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”．我校也希望大力改善学生的膳食结构，让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子．于是学校从晚餐在食堂就餐的学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：

	更喜欢吃面食	更喜欢吃米饭	总计
男生	30	25	55
女生	20	25	45
总计	50	50	100

（1）依据小概率α=0.05的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？
（2）在样本中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；
（3）现用频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.05	0.01	0.005
xα	3.841	6.635	7.879

一场始于烟火，归于真诚的通邂逅，让无数人赴山赶海“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出150元烧烤套餐．某同学调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：

x	1	3	4	6	7
y	5	6.5	7	7.5	8

y与x可用回归方程y=algx+

̂

b

（其中a,

̂

b

为常数）进行模拟．
参考数据与公式：设t=lgx,则：

t	y	5 i=1 (ti- t )(yi- y )	5 i=1 (ti- t )2
0.54	6.8	1.53	0.45

线性回归直线y=at+

̂

b

中，a=

∑ n i=1 (ti- t )(yi- y )

∑ n i=1 (ti- t )2

，

̂

b

=

y

-a

t

．
（1）试预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元？（利润=售价-成本，结果精确到1元）
（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增．4月份的连续16天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若不发车，则每辆车每天平均亏损200元．若n=3或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议．

设（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，其中n≥2，n∈N^*．
（1）当n=9时，求a₁+a₂+…+a₉的值；
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．

某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
（1）求a的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[650，750），[750，850）内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

甲乙两所友好学校举行篮球联谊赛，先获得3场比赛胜利的学校获得冠军并终止比赛，比赛交替在甲校与乙校进行，第一场比赛在甲校进行．已知甲队在主场（甲校）获胜的概率为

2

3

，在客场（乙校）获胜的概率为

1

4

，每场比赛要分出胜负且胜负概率不变．
（1）求甲队以3胜1负的成绩赢得冠军的概率；
（2）设篮球联谊赛比赛进行的场数为X，求随机变量X的分布列与期望．

甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：

	红球	蓝球	白球
A盒	2	2	1
B盒	2	2	1

（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；
（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．
（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；
（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．

某大学A学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到如表．

跑步里程s（km）	0≤s＜30	30≤s＜60	60≤s＜90	s≥90
男生（人数）	a	12	10	5
女生（人数）	6	6	4	2

（1）求a的值，并估计A学院学生5月份累计跑步里程s（km）在[0，30）中的男生人数；
（2）从A学院样本中5月份累计跑步里程不少于90（km）的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X，求X的分布及期望．