如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，

C1E

=λ

C1C

(0＜λ＜1)，A1A=

3

AB=2

3

．
（1）若λ=

1

2

，证明：DE⊥平面A₁B₁E；
（2）若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为

π

3

，求λ的值．

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，且PB⊥底面ABCD，点E是棱AD的中点．
（1）若H是棱CP的中点，证明：EH∥平面ABP；
（2）若正方形ABCD的边长是4，BP=3，点F在棱CP上，且CF=

1

3

CP，求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．

如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=45°，点P在平面BCD内，点Q在AB上，且满足PQ⊥AB．
（1）过Q作AB的垂面QEF，交平面BCD于EF，过B作BM⊥EF交CD于点M，证明：EF⊥AM；
（2）当PQ与平面BCD所成最大角的正切值是

15

3

时，求此时PQ与平面ABC所成角的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，M为PA的中点，AD∥BC，AD=2BC，AB=2，BC=1，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：DM⊥平面PAB；
（2）求平面PAB与平面PCM所成锐二面角的余弦值．

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2

2

，PB=PC=

6

，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=

5

DO，点F在AC上，BF⊥AO．
（1）证明：EF∥平面ADO；
（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（3）求二面角D-AO-C的正弦值．

某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．
（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为

2

3

，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；
（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ²）．已知μ=74，σ=7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于

3

km，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东20°，则灯塔A与灯塔B的距离为 __________km.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知（a+b）sin（A+C）=（c-a）⋅（sinA+sinC），∠ABC与∠BAC的平分线交于点O，则∠AOB的值为 __________．

如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东75°方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为 __________海里．

若△ABC的三个内角A，B，C满足cosA=sinB=

1

2

tan

C

2

，则sinA+cosA+

1

2

tanA的值为 __________．