某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业．牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业．如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图．并计算得到

7

i=1

yi=480，

7

i=1

xiyi=2052，

7 i=1 (yi- y )2

≈25，

7

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)=132，

7

i=1

wi=140，

7

i=1

(wi-

w

)(yi-

y

)=1048，

7 i=1 (wi- w )2

≈43.3，其中wi=

x

2 i

．
（1）根据折线图判断，y=a+bx与y=c+dx²哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入．
附：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

，

7

≈2.65．

（1）解不等式

A

x 8

＜6

A

x-2 8

；
（2）若

C

2 3

+

C

2 4

+

C

2 5

+⋯+

C

2 n

=363，求正整数n.

已知

a

=(1，4，-2)，

b

=(-2，2，4)．
（1）若

c

=

1

2

b

，求cos＜

a

，

c

＞的值；
（2）若(k

a

+

b

)∥(

a

-3

b

)，求实数k的值．

如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．
（1）求证：AF⊥PC；
（2）求二面角D-PC-E的大小．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=

2

，AB⊥BC．
（1）求证：AC₁⊥B₁C；
（2）求B₁C与平面AA₁C₁C所成的角的大小．

现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有8个红球和2个白球乙袋中有4个红球和6个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为

1

2

．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．

养殖法	箱产量
	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法	30	20
新养殖法	15	35

（1）根据小概率α=0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；
（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．
附：P（χ²≥7.897）=0.005，χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AA₁⊥平面ABCD，AB=1，AA₁=2，∠BAD=60°，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求二面角B₁-AC-P的余弦值．

如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，∠BCD=60°，AB=2BC=2CD=4，AD⊥PB．
（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD；
（2）若PB=PD，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为

6

7

，点E在线段PC上满足PE=2EC，求二面角C-BD-E的余弦值．

第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如表所示．

	男学生	女学生	合计
关注度极高	45	40	85
关注度一般	5	10	15
合计	50	50	100

（1）若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；
（2）用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为X，求X的期望．