某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表；

x	1	2	3	4	5
y	1.5	2	3.5	8	15

（1）求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度；
（参考；若|r|≥0.75，则线性相关性程度很强；若0.30≤|r|＜0.75，则线性相关性程度一般，若|r|≤0.25，则线性相关性程度很弱．）
（2）求年销售量y关于年投资额x的经验回归方程．
参考公式：样本相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2 n i=1 yi2-n y 2

经验回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

参考数据

51

≈7.14

党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如表：

年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码x	1	2	3	4	5
人均可支配收入y（单位：万元）	1.30	1.40	1.62	1.68	1.80

（1）根据上表统计数据，计算y与x的相关系数r,并判断y与x是否具有较高的线性相关程度（若0.30≤|r|＜0.75，则线性相关程度一般，若|r|≥0.75，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；
（2）求出y与x的回归方程．
参考公式和依据，相关系数：r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 • n i=1 (yi- y )2

，

5

i=1

（x_i-

x

）（yi-

y

）=1.28，

5

i=1

（yi-

y

）²≈0.17，

1.7

≈1.3，

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为3，O₁是上底面A₁B₁C₁D₁的一个动点．
（1）求三棱锥A-O₁BC的体积；
（2）当O₁是上底面A₁B₁C₁D₁的中心时，求AO₁与平面ABCD所成角的余弦值．

某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：
[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得到初中生组的频率分布直方图和高中生组的频数分布表．

分组区间	频数
[0，10）	2
[10，20）	10
[20，30）	14
[30，40）	12
[40，50]	2

高中生组
（1）求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数；
（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记ξ为3人中初中生的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）若用样本的频率代替概率，用ξ₁表示高中阅读时间，“ξ₁=1”表示阅读时间在[30，50]情况，“ξ₁=0”阅读区间在[0，30）的阅读情况．相应地，用ξ₂表示初中组相应阅读时间段的情况，直接写出方差Dξ₁，Dξ₂大小关系．（结论不要求证明）

某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A=“患有地方性疾病”，B=“卫生习惯良好”．据临床统计显示，P（A|

B

）=

3

4

，P（B|

A

）=

12

13

，该地人群中卫生习惯良好的概率为

4

5

．
（1）求P（A）和P（A|B）；
（2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为m（m∈N^*）的样本，利用独立性检验，计算得χ²=2.640．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的k（k∈N^*）倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值．
附表及公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d

α	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：

X	1	2	3	0
概率	α p	α	α（1-p）	α（1-p）2

其中α＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为

1

2

且相互独立，事件A_i表示一个家庭有i个孩子（i=0，1，2，3），事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．）
（1）若p=

1

2

，求α，并根据全概率公式P(B)=

3

i=0

P(B|Ai)P(Ai)，求P（B）；
（2）为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）．
①若希望P（X=2）增大，如何调控p的值？
②是否存在p的值使得E(X)=

5

3

，请说明理由．

在(x2+x+1)n=

D

0 n

x2n+

D

1 n

x2n-1+

D

2 n

x2n-2+…+

D

2n-1 n

x+

D

2n n

的展开式中，把

D

0 n

，

D

1 n

，

D

2 n

，…，

D

2n n

叫做三项式的n次系数列．
（1）求

D

1 3

+

D

3 3

+

D

5 3

的值；
（2）根据二项式定理，将等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如

C

n 2n

=(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2，利用上述思想方法，请计算

D

0 214

C

0 214

-

D

1 214

C

1 214

+

D

2 214

C

2 214

+…+

D

212 214

C

212 214

-

D

213 214

C

213 214

+

D

214 214

C

214 214

值；
（3）我们都知道方程x²+x+1=0无实数解，对于正整数n你能否计算：

D

0 n

+

D

3 n

+

D

6 n

+

D

9 n

+…+

D

3k n

+…的值（上标3k,k∈N，为不超过2n的3的倍数，结果请用含有n的代数式表示）．

已知复数z满足（1-i）z=1+i,其中i为虚数单位，则

z

的实部为（　　）

已知复数z满足（1+i）²z=2+4i,则复数z的共轭复数

z

=（　　）

若复数z=4-3i（i为虚数单位），则z-|z|在复平面内对应的点位于（　　）