如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，AB₁与平面ACC₁A₁所成角的正切值为

21

7

，所有侧棱与底面边长均为2，D是边AC中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求异面直线BB₁与A₁C₁所成的角；
（3）F是边CC₁一点，且CF=λCC₁，若AB₁⊥A₁F，求λ的值．

某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少？

如图所示，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=2

5

，AC与BD相交于点O，E为PD中点．
（1）求证：EO∥平面PBC；
（2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．

在四面体P-ABC中，点H为△ABC的垂心，且PH⊥平面ABC．
（1）若AP⊥PC，求证：PA⊥PB；
（2）若PB=AB，证明：PC=AC．

如图所示，在多面体ABCD-A₁B₁D₁中，四边形AA₁B₁B，ADD₁A₁，ABCD均为边长为2的正方形，E为B₁D₁的中点，过A₁，D，E的平面交CD₁于点F．
（1）证明：EF∥B₁C．
（2）求三棱锥C-DEF的体积．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）
（1）证明：BD₁⊥平面ACB₁；
（2）若AB=2，点P是棱CD上一点（不包含端点），平面α过点P，且BD₁⊥α，求平面α截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得截面的面积的最大值．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AB∥平面A₁DCB₁；
（2）求证：BC₁⊥平面A₁DCB₁；

我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”
现有一个“刍甍”如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，EF∥AB，AB=4，EF=2，EA=ED=FB=FC=

17

．
（1）设过点F且与直线EF垂直的平面为平面α，且平面α与直线AB、CD分别交于P、Q两点，求△FPQ的周长；
（2）求四面体ABDE的体积；
（3）点N在线段AD上且满足

AN

AD

=

1

3

．试问：在线段CF上是否存在点M，使NF∥平面BDM？若存在，求出

CM

CF

的值；若不存在，请说明理由．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC，AB=BB₁=4，E为AA₁的中点，F为线段B₁C上一点，设CF=λCB₁．
（1）当λ=

1

2

时，求证：EF∥平面ABC．
（2）当三棱锥C₁-ABF的体积为

8

3

时，求λ的值．

亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）．假设我们把亭子看成由一个圆锥P-O₁与一个圆柱OO₁构成的几何体Ω（如图2）．一般地，设圆锥P-O₁中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．
（1）求几何体Ω的体积；
（2）如图2，设E为圆柱底面半圆弧CD的三等分点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求．