设函数f（x）=xsinx+cosx+x²+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[-

π

2

，π]时，求f（x）的最值．

已知函数f(x)=ln(ex)+

1

x

．
（1）证明：∀x＞0，有f（x）≥2；
（2）设g(x)=

ex

x

-af(x)(a＞1)，讨论g（x）的单调性．

已知函数f(x)=klnx+

1

ex

(k∈R)．
（1）若函数y=f（x）在（2，3）上不单调，求k的取值范围；
（2）已知0＜x₁＜x₂．
（ⅰ）证明：

e

ex2

-

e

ex1

＞-ln

x2

x1

＞1-

x2

x1

；
（ⅱ）若

x1

ex1

=

x2

ex2

=k，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx,g(x)=ax-lnx-2．
（1）当f（x）与g（x）都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a的值；
（2）当a=1时，若f（x₁）=f（x₂）=b（x₁≠x₂），求证：x₁+x₂＞2

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a,b∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）在区间[0，2]上的最值．

已知f(x)=

lnx+a

x

，g(x)=ex+

2

x

-1．
（1）若函数f（x）的图像在x=e处的切线与直线2x-y+8=0垂直，求a；
（2）当x＞0时，g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=（x-2）e^-x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a,b为两个不相等的实数，且满足a e^b-b e^a=2（ e^b-e^a），求证：a+b＞6．

已知函数f（x）=e^x-ax,g（x）=lnx-ax,a∈R．
（1）当a=1时，求函数y=f（g（x））的单调区间；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值为m,求函数F（x）=e^x-e^mlnx的最小值．
（其中e≈2.71828是自然对数的底数）

如图，已知等腰直角三角形ABC的两直角边AC，BC的边长为4，过AC边的n等分点A_i作AC边的垂线d_i，过CB边的n等分点B_i和顶点A作直线l_i，记d_i与l_i的交点为P_i（i=1，2，…，n-1）．若以点A为坐标原点，AC所在的直线为x轴（点C在x轴的正半轴上），建立平面直角坐标系．
（1）（A组题）证明：对任意的正整数n（n≥2），点P_i（i=1，2，…，n-1）都在抛物线Γ：x²=4y上；
（B组题）当n=4时，求点P₂的坐标；
（2）（A组题）已知M（x₀，y₀）是抛物线Γ：x²=4y在第一象限的点，过点M与抛物线Γ相切的直线l与y轴的交点为R．过点M的直线l′与直线l垂直，且与抛物线Γ交于另一点Q．记△RMQ的面积为S，试用解析法将S表示为y₀的函数，并求S的最小值．
（B组题）已知M（x₀，y₀）是抛物线Γ：x²=4y在第一象限的点，过点M与抛物线Γ相切的直线l与y轴的交点为R．过点M的直线l′与直线l垂直，与抛物线Γ交于另一点Q，且与y轴交于点N．若△RMN为等腰直角三角形，求△RMQ的面积S．

已知函数f(x)=2lnx+

a

x2

．
（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）若y=f（x）在区间[2，3]上是严格增函数，求a的取值范围；
（3）f（x）是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由．