已知椭圆Γ：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点为F₁，F₂，点A是椭圆Γ的上顶点，经过P（0，3）的直线l交椭圆Γ于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）两个不同的点．
（1）求点F₂到直线F₁A的距离；
（2）若直线l的斜率为k,且F₁C⊥F₁D，求实数k的值．

已知函数f（x）=-2x³-2ax-

1

2

，g（x）=lnx.
（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（2）用max{m,n}表示m,n中的最大值，设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），试讨论函数h（x）零点的个数．

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，△PF₁F₂的周长为6，|PF₂|的最小值为1，F₁为抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点．
（1）求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）过椭圆C₁的左顶点Q的直线l交抛物线C₂于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S₁，△OAB的面积为S₂，则是否存在直线l使得S₂=

13

3

S1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=axe^x（a∈R）．
（1）若|a|≤e,函数g(x)=f(x)-

1

2

x2-x的极大值为

3

2

，求a的值；
（2）若f（x）+1≥0在[-2，2]上恒成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx-ax-b.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求

b

a

的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），过椭圆的右焦点F₂作垂直于x轴的直线交椭圆于A（2，3），B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆上位于AB两侧的动点，当M，N运动时，始终保持AB平分∠MAN，求证：直线MN的斜率为定值．

已知抛物线 C：x²=2py（p＞0），斜率为1的直线l交C于不同于原点的S，T两点，点M（2，3）为线段ST的中点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y=kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂，设切线l₁，l₂的交点为P．
①求证：△PAB为直角三角形．
②记△PAB的面积为S，求S的最小值，并指出S最小时对应的点P的坐标．

已知函数f（x）=

1

2

x²+2alnx-2x（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，求a的取值范围；
（2）令F（x）=f（x）-ax,当a＞0时，求F（x）在区间[1，2]上的最大值．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（

6

，0），且C的一条渐近线经过点D（

2

，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．
（1）若点A的坐标是（0，b），且△AF₁F₂的面积为

2

a2，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若以F₁F₂为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且|F₁P|=

3

|OP|（O为原点），求双曲线C的离心率．