已知复数z₁=a+2+（a-1）i,z₂=2+（3a+1）i,a∈R．
（1）若复数z₁-z₂在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z₁是方程x²-8x+m=0的一个根，求实数m的值．

已知复数z=

3-i

2+i

（i是虚数单位）．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若z2+az+b=

z

(a,b∈R)，求a,b的值．

在英语中，实数是RealQuantity,一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是ImaginaryQuantity,一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re（1+2i）=1，Im（1+2i）=2．已知复数ω是方程x²+x+1=0的解．
（1）若Im（ω）＞0，求证ω2=

ω

；
（2）若Im（ω）＜0，复数z=a+bi（a,b∈R）且满足|z|=ω³，在复平面内z对应的点为Z，当|z-2|取得最大值时，求点Z的坐标．

设复数z=a+bi（a,b∈R），i为虚数单位，且满足|z|+z=

- 4+8i

i

．
（1）求复数z；
（2）复数z是关于x的方程x²+px+q=0的一个根，求实数p,q的值．

设z是虚数，在平面直角坐标系xOy中，z,

z

，

1

z

对应的向量分别为

OA

，

OB

，

OC

．
（1）证明：O，B，C三点共线；
（2）若z³=1，求向量

OA

+

OC

的坐标．

设复数z=m²-2m-3+（m²+3m+2）i,m为实数
（1）当m为何值时，z是纯虚数；
（2）若复数

z

在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

设复数z₁=a+bi,z₂=c+di,其中a、b、c、d∈R．
现在复数系中定义一个新运算⊗，规定：z₁⊗z₂=（ac+bd）+（ad+bc）i.
（1）已知|(2-i)⊗(x+i)|=

2

，求实数x的值；
（2）现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题：
①

z1⊗z2

=

z1

⊗

z2

；
②若z₁⊗z₂=0，则z₁=0或z₂=0．
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由．

计算：
（1）（1+2i）+（3-4i）-（5+6i）；
（2）（1-i）（-1+i）+（-1+i）．

在①复数z满足z+i和

z

2-i

均为实数；⑦

z

为复数z的共轭复数，且z(1+i)=

z

+1；③复数z=a+bi（a∈R，b＜0）是关于x方程x²-4x+5=0的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若z1=

z

+

1

m

+(m2+m-3)i对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

关于x的一元二次方程x²+（a+1）x+4=0（a∈R）有两个根x₁，x₂，其中x1=1+

3

i．
（1）求a的值；
（2）设x₁，x₂在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．