已知平面内动点M（x,y）与定点F（1，0）的距离和M到定直线x=4的距离的比是常数

1

2

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设动点M的轨迹为曲线C，过定点F（1，0）的直线l和曲线C交于不同两点A，B满足

AF

=2

FB

，求线段AB的长．

已知函数f（x）=x-1-alnx（其中a为参数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个不同零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）证明：x₁+x₂＞2a.

已知函数f（x）=asinx-ln（1+x）（a∈R）．
（1）若a=-1，求证：∀x＞0，f（x）+2x＞0；
（2）当a≥1时，对任意x∈[0，

k

2

]，都有f（x）≥0，求整数k的最大值．

已知函数f（x）=axlnx-x.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，若f（x）=b有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂.求证：be+e＜x₂-x₁＜2b+e+

1

e

．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）经过点（-1，

3

2

），过点T（

3

，0）的直线交该椭圆于P，Q两点．
（1）求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；
（2）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S（s,0）使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点（0，2），(

6

，

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x-1交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为

3

4

，小李每轮答对的概率为

2

3

．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求两人在两轮活动中都答对的概率；
（2）求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．

天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲乙两地都降雨的概率；
（2）甲乙两地都不降雨的概率．

为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为

4

5

，

3

5

；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为

2

3

，

3

4

，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．

挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5、0.6、0.75，能通过文考关的概率分别是0.6、0.5、0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关
之间通过与否没有影响．
（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．