已知F₁、F₂分别为椭圆Γ：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆Γ于A、B两点，记原点为O．
（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长|AB|；
（2）当

OA

⋅

OB

=-2时，求直线l的方程；
（3）是否存在位于x轴上的定点M（m,0）使得

MA

⋅

MB

始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长与短半轴长之比为2

2

，且点A(2，

2

)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my-4与x轴，椭圆C依次相交于D，P，Q三点，点M为线段PQ上的一点，若

|DP|

|DQ|

=

|PM|

|MQ|

，求△ODM（O为坐标原点）面积的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，A1，A2分别为椭圆C的左右顶点，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的上顶点，且△BA₁F₁的外接圆半径为

2 21

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q在x轴的两侧），记直线A₁P，A₂P，A₂Q，A₁Q的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄．
（ⅰ）求k₁•k₂的值；
（ⅱ）若k₁+k₄=

5

3

(k2+k3)，则求△F₂PQ的面积的取值范围．

已知函数f（x）=2ax-e^x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≤4a²-4a.

已知椭圆C：

x2

2

+

y2

b2

=1（b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，且

OM

•

AB

=-

1

2

b²．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=3，P为圆O上任意一点，过点P作椭圆C的切线，交圆O于点Q，若OP与OQ斜率都存在，求证：k_OP•k_OQ为定值．

已知函数f（x）=a（2x-1）|x+1|-2x-1．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求证：①

1

a

＜x3＜

1

a

+

1

x3

；②a（x₂-x₁）＜1．

已知函数f（x）=

ax

ex

（a≠0）．
（1）若对任意x∈R的都有f（x）≤

1

e

恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设m,n是两个不相等的实数，且m=ne^m-n．求证：m+n＞2．

已知函数f（x）=（a+1）e^x+

a

ex

-3，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=0时，若存在x∈R使得关于x的不等式k≥xf（x）成立，求k的最小整数值．（参考数据：e

3

4

≈2.1）

设函数f（x）=x²+1-lnx.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）=f（x）-x在区间[

1

2

，2]上的最值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F₁、F₂，点P在椭圆C上，以PF₁为直径的圆E：x2+(y-

1

2

)2=

9

4

过点F₂．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，是否存在以点
O为圆心的定圆与AB相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由．