已知函数f（x）=x（a-e^2x），其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）极值点的个数；
（2）对任意的x＞0，都有f（x）≤-lnx-1，求实数a的取值范围．

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范围；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁k₂是定值吗？证明你的结论．

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（0，-2）处的切线斜率为-1，且在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的最值．

已知函数f（x）=e^x-1-mx²（m∈R）．
（1）当m=1，判断f（x）在区间（0，+∞）是否存在极小值点，并说明理由；
（2）已知m＞0，设函数g（x）=f（x）+mxln（mx）．若g（x）在区间（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=（x-3）e^x-x²+4x,g（x）=lnx-ax.
（Ⅰ）求f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ax+2e^-x+1（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a≠0时，若函数g（x）=f（x）-a-3有2个零点，求实数a的取值范围．

若定义域为D的函数y=f（x）使得y=f'（x）是定义域为D的严格增函数，则称f（x）是一个“T函数”．
（1）分别判断f1(x)=3x，f2(x)=x3是否为T函数，并说明理由；
（2）已知常数a＞0，若定义在（0，+∞）上的函数y=g（x）是T函数，证明：g（a+1）-g（a）＜g（a+3）-g（a+2）；
（3）已知T函数y=F（x）的定义域为R，不等式F（x）＜0的解集为（-∞，0）．证明：F（x）在R上严格增．

已知函数f(x)=lnx-a(x-

1

x

)．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若函数f（x）恰有2个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），3个零点t₁，t₂，t₃（t₁＜t₂＜t₃），探究：是否存在实数a,使得

f(x2)-f(x1)

2

=

2(t3-t1)

lnt3-lnt1

-2．

已知函数f（x）=1+2lnx.
（1）证明：f（x）≤x²；
（2）若f（x）≤2x+c,求c的取值范围．

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-2，求a值；
（2）若a=1，对于任意x₁，x₂∈[1，10]，当x₁＜x₂时，不等式f(x1)-f(x2)＞

m(x2-x1)

x1x2

恒成立，求实数m的取值范围．