97271 难度：4

已知函数f（x）=e^x-ln（2x+a）．
（1）当0＜a＜2时，讨论导函数f'（x）的零点个数；
（2）当a=1时，证明：f(x)＞

3

2

-ln2．

97272 难度：3

已知点P在椭圆C₁：

x2

4

+y2=1上，点Q（x₀，y₀）为椭圆C₂：

x2

8

+

y2

2

=1上异于顶点的任意一点，过点Q作椭圆C₁的两条切线，切点分别为M，N．记直线QM，QN，OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄．
（1）求证：k₁k₂为定值；
（2）若k₃k₄=k₁k₂，求证：2|OP|²+|OQ|²为定值．

97273 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2，P为C上一动点（点P异于C的左右顶点），△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线PF₁，PF₂分别与C交于异于点P的M，N两点，试判断

|PF1|⋅|NF2|+|PF2|⋅|MF1|

|MF1||NF2|

是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．

97274 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，(0，

2

)是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为

1

2

，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（-2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．

97275 难度：3

已知函数f（x）=x-e^x+a.
（1）若a≤1，试讨论函数f（x）零点的个数；
（2）若函数f（x）恰有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：2x₁+x₂＜0．

97276 难度：3

已知函数f（x）=

a(x-1)+bex

ex

（a≠0）．
（1）当a=-1，b=0时，求函数f（x）的极值；
（2）当b=1时，若函数f（x）没有零点，求实数a的取值范围．

97277 难度：4

已知函数f(x)=

alnx+a-1

x

．
（1）若xf（x）≤x-1恒成立，求a的取值范围；
（2）当a=1时，证明：

f(2)

2

+

f(3)

3

+…+

f(n)

n

＜

n

2

+

1

2n+2

-

19

24

．

97278 难度：3

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)离心率为

2

2

，焦距为2

2

．
（1）求E的方程；
（2）过点T（1，0）分别作斜率和为1的两条直线l₁与l₂，设l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点．

97279 难度：3

已知函数f(x)=lnx+

1

2

(a-x)2，其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），|f（x₂）-f（x₁）|的取值范围为(

3

4

-ln2，

15

8

-2ln2)，求a的取值范围．

97280 难度：4

已知F₁，F₂分别为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P(2，2

6

)在C上，且双曲线C的渐近线与圆x²+y²-6y+8=0相切．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点F₂且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，Q为x轴上一点，满足|QA|=|QB|，试问

|AF1|+|BF1|-4

|QF2|

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．