97261 难度：3

已知O为坐标原点，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，C的上顶点到右顶点的距离为

5

．
（1）求C的方程；
（2）M，N为C上的动点，设直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=-4．求△OMN的面积的最大值．

97262 难度：3

已知函数f(x)=

1

2

x2+alnx-2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．f（x₁）+f（x₂）＜-3e^-2-2恒成立．
①求a的取值范围；
②证明：f(x)＜

1

2

x2+(a-1)lnx-(a+2)x+xex-1．

97263 难度：3

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+a）．
（1）当a=2时，求f（x）在[-2，1]上的值域；
（2）若f（x）≤x²e^x+1恒成立，求实数a的取值范围．

97264 难度：3

已知函数f（x）=2x²+（4-a）x-alnx（a∈R）．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当a=3时，证明：对任意的x＞0，都有f（x）+e^x＞2x²+x+2．

97265 难度：5

动点P与两定点A1(0，-

2

)，A2(0，

2

)，A2(0，

2

)的连线的斜率之积为-2，动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）过点F（0，1）的直线与E交于A，B两点，直线y=

12

5

与y轴交于点C，O为坐标原点，求四边形OACB的面积S的最大值．

97266 难度：2

已知函数f（x）=ax-sinx,g（x）=x²-alnx,a∈R．
（1）当a=1时，证明：x⩾0时，f（x）⩾0恒成立；
（2）若g（x）在（1，g（1））处的切线与y=-x+1垂直，求函数g（x）在区间[

1

2

，2]上的值域；
（3）若方程f（x）+sinx=lnx有两个不同的根，求实数a的取值范围．

97267 难度：3

已知函数f（x）=ax-sinx,g（x）=x²-alnx,a∈R．
（1）当a=1时，证明：x≥0时，f（x）≥0恒成立；
（2）若g（x）在（1，g（1））处的切线与y=-x+1垂直，求函数g（x）在区间[

1

2

，2]上的值域；
（3）令h（x）=g（x）-f（x）-sinx,若函数h（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

97268 难度：3

设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f(x)=

1

3

x3+mx2-3x+1的两个极值点，且

x1+x2

x1x2

=

2

3

．
（1）求m的值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的值域．

97269 难度：3

已知函数f（x）=lnx-ax²+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

97270 难度：4

已知双曲线E：

x2

3

-y2=1的左、右顶点分别为A₁，A₂．
（1）若过点T（0，-3）的直线l交双曲线E于A，B两点，求直线l的斜率范围；
（2）过原点的直线与双曲线E相交于C，D两点（C在x轴的上方），直线A₂C，A₂D与圆x²+y²=3分别交于M，N，直线CD与直线MN的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂．