如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=

1

2

AD，E为棱AD的中点，PA⊥CD．
（1）证明：CD⊥平面PAD；
（2）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求平面MAC与平面ABC夹角的余弦值．

在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd,dd,其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1：2：1，如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为Dd的概率．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AD=5，BC=2AB=4，M为PC的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若AM⊥PC，求直线PB与面PCD所成角的正弦值．

设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．
（1）记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X分布列；
（2）求从乙盒取出1个红球的概率．

王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利8%，产品B的一年后盈亏情况的分布列如表（表中p＞0）：

盈亏情况	获利16%	不赔不赚	亏损4%
概率	2p	1 4	p

（1）如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．
（2）该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的2%但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？

某箱子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球，2个白球．从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回；如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球．记两次取球后，箱子中小球的个数为X．
（1）求两次取球都是红球的概率；
（2）求X的分布、期望和方差．

2023年4月23日是第28个“世界读书日”．为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛．初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级．现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为

3

4

，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为

3

5

，

2

3

，且各队各轮比赛互不影响．
（1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望；
（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军．决赛共有两道抢答题．第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分．第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分．最终得分高的队伍获胜．假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为

1

2

，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等．各队各题作答互不影响．已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率．

已知甲书架上有4本英文读物和2本中文读物，乙书架上有2本英文读物和3本中文读物．
（Ⅰ）从甲书架上无放回地取2本书，每次任取1本，求第一次取到英文读物的条件下第二次仍取到英文读物的概率；
（Ⅱ）先从乙书架上随机取2本书放在甲书架上，再从甲书架上随机取2本书，求从甲书架上取出的是2本英文读物的概率．

从5个男生3个女生中选出3人，求符合下列条件的选法数．
（1）男同学甲、女同学乙必须被选出；
（2）至少有两名女生被选出；
（3）选出的3人分别担任体委、文娱委员等3个不同的职务，但体委由男生担任，文娱委员由女生担任．