961 难度：3

已知

1

3

≤a≤1，若函数f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函数解析式；
（2）不要证明，请直接写出函数g（a）的单调区间，并求g（a）的最大值．

962 难度：3

已知函数f(x)=

1

2x-1

+a(a∈R)为奇函数．
（1）求常数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义证明．

963 难度：3

求函数f(x)=log

1

2

(x2+2x-3)的递增区间．

964 难度：3

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）-kx的图象过点（2，log₂

5

2

）．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）+

1

2

x-a＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=2f(x)+

1

2

x+m•4^x-1，x∈[0，log₂3]，是否存在实数m＜0使得h（x）的最小值为

1

2

，若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由．

965 难度：3

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x．
（Ⅰ）求证：log₄（4^x+1）-x=log₄（1+4^-x）
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=

1

2

x+a没有交点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=4f(x)+

1

2

x+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]，则是否存在实数m，使得h（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

966 难度：3

已知a∈R，函数f（x）=log₂（

1

x

+a）．
（Ⅰ）当a=4时，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-log₂[（a-3）x+2a-4]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值集合；
（Ⅲ）设a＞0，若对任意t∈[1，2]，函数f（x）在区间[t，3t-1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．

967 难度：3

已知函数f（x）=p+q^x（q＞0，q≠1），且f（0）=-1，f（2）=-

17

9

．
（1）求p与q的值；
（2）解不等式：f（2x）＜f（1-x）．

968 难度：3

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0）对任意x∈R，都有f（x-4）=f（-x）．
（1）若函数f（x）的顶点坐标为（x₀，-3），求f（x）的解析式；
（2）函数f（x）的最小值记为h（a），求函数H（a）=a•h（a）在a∈（0，4]上的值域．

969 难度：3

已知函数f（x）=3ax2-4x+3．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．

970 难度：3

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+log₂（2^x+1）-1．
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-1，0]，函数g（x）=（

1

2

）^f（x）-1+m•

1

2x

-2m，是否存在实数m使得g（x）的最小值为

1

4

，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．