如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC₁B₁为矩形，∠A1AB=

2π

3

，二面角A-BC-A₁的正切值为

1

2

．
（1）求侧棱AA₁的长；
（2）侧棱CC₁上是否存在点D，使得平面DA₁B与平面A₁BC所成的锐二面角的余弦值为

2 6

5

？若存在，判断D点的位置并证明；若不存在，说明理由．

贵妃芒，又名红金龙，是产于海南的一种芒果．该芒果按照等级可分为四类：A等级、B等级、C等级和D等级．某采购商打算订购一批该芒果销往省外，并从采购的这批芒果中随机抽取100箱，利用芒果的等级分类标准得到的数据如下表（将样本频率作为概率）：

等级	A	B	C	D
箱数	40	30	20	10

（1）从这100箱芒果中有放回地随机抽取4箱，记这4箱中A等级的箱数为ξ，求概率P（ξ=2）以及ξ的方差；
（2）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考．方案一：不分等级出售，价格为30元/箱；方案二：分等级出售，芒果价格如下表，从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

等级	A	B	C	D
价格/（元/箱）	38	32	26	16

（3）用分层抽样的方法从这100箱芒果中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，用X表示抽取的B等级的箱数，请写出X的分布列．

某乡镇积极贯彻党的二十大精神，全面推进乡村振兴战略，大力发展优质水果特色产业，为农民增收助力．为提高水果的产量，该乡镇从4名男技术员和n名女技术员中抽取若干人进行果树管理技术指导．若一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有74种．
（1）若一次抽出3人，求在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；
（2）若一次抽取6人，记X表示6人中女技术员的人数，求X的分布列和数学期望．

某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中各随机抽取了200人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将分数分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数的频数分布表：

分数区间	频数
[0，10）	4
[10，20）	6
[20，30）	10
[30，40）	30
[40，50）	80
[50，60）	70

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如表：

分数	[0，30）	[30，50）	[50，60）
满意度指数	3	4	5

（1）在抽样的200人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为4的人数；
（2）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”低的概率；
（3）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，从期望的角度你会选择哪一家？并说明理由．

在政策的扶持下，小华计划在某乡开快递站，为了解市场行情，在该市调查了15家农村快递站，统计得到了它们的营业面积x（单位：m²）和日均客流量y（单位：人）的数据（x₁，y₁）（i=1，2，…15），初步判断x与y线性相关，并计算得

15

i=1

xi=600，

15

i=1

yi=1350，

15

i=1

x

2 i

=29000，

15

i=1

y

2 i

=153500，

15

i=1

xiyi=66600．
（1）求x与y的样本相关系数（结果精确到0.001）；
（2）现有营业面积为50m²的商铺正在出租，小华准备租用此商铺开快递站，请预估小华的快递站的日均客流量（结果精确到个位数）．
参考公式：样本相关系数r=

15 i=1 xiyi-n x • y

15 i=1 xi2-n x 2 • 15 i=1 yi2-n y 2

，回归直线方程

̂

y

=

̂

b

x+â中，

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．参考数据

5

≈2.236，

10

≈3.162．

道德与法律的联系：法律、道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则．
1．法律需要道德的奠基和撑持
2．道德的实施需要法律的强制保障
某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如表所示：

成绩/分	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100）
人数/个	4	4	10	22	10

（1）若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；
（2）假设处于[20，40）的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数；
（3）以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在[80，100）间的数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．

如图，正三棱柱ABC-DEF中，AB=AD=2，点G为线段BE上一点（含端点）．
（1）当G为BE的中点时，求证：CD⊥平面AFG；
（2）线段BE上是否存在一点G，使得平面AFG与平面ABC所成角的余弦值为

2

5

3

．若存在，求出G的位置：若不存在，说明理由．

某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶2元，未售出的饮品降价处理，以每瓶1元的价格当天全部处理完．依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温T≥35℃时，零售价为每瓶5元，日需求量为300瓶；当30℃≤T＜35℃时，零售价为每瓶4元，日需求量为200瓶；当T＜30℃时，零售价为每瓶3元，日需求量为100瓶．已知七月份每天气温T≥35℃的概率为0.6，30℃≤T＜35℃的概率为0.2，T＜30℃的概率为0.2．
（1）求七月份这种饮品一天的平均需求量；
（2）若七月份某连续三天每天的气温均不低于30℃，求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望．

为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛．每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束．每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分．经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为

1

3

，

1

2

，

1

6

，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为

1

3

，

2

3

．
（1）设小A每天获得的得分为X，求X的分布列、数学期望和方差；
（2）若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为

1

3

，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？

某学校高二1班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
（1）求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
（2）已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率．