拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知△ABC内接于半径为6的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'．若∠ACB=30°，则△A'B'C'的面积最大值为 __________．

在△ABC中，AB=3，BC=5，AC=7，则角B的余弦值是 __________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=

3

，A=60°，b=1，则a=__________．

曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针旋转角α（α＞0）时，P和Q之间的距离是xcm,若OA=3cm,OQ=10cm,x=5，请写出一个满足题意的角α的值 __________．

如图，在△ABD中，AB=AD=1，∠DAB=θ，过点B向外作等腰直角三角形DBC，且BC=BD，则当θ=__________时，AC的长度取得最大值，最大值为 __________．

已知△ABC中，AC=4，AB=3，∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分线，则AD=__________．

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=3，sinA+asinB=2

3

，则△ABC周长的取值范围为 __________．

口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中4个白球，2个红球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，共摸球两次．
（1）设随机变量X为两次摸球中摸到白球的个数，求X的分布列和E（X）．
（2）设A=“第1次摸到白球”，B=“第2次摸到红球”．求P（B|A）和P（B），结果用分数表示

某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望．

现有4名学生甲、乙、丙、丁参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不合格和合格两个等次，若考核为不合格，授予0分加分资格；若考核合格，授予10分加分资格．若甲、乙、丙、丁考核为合格的概率分别为

3

4

，

2

3

，

2

3

，

2

3

，他们考核是否合格互不影响．
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙、丁这4名学生考核都合格的概率；
（2）记X为在这次考核中甲、乙、丙、丁这4名学生所得加分之和，求X的分布列和数学期望．