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高中数学
96951
难度：3
已知函数
f(x)=a
x
3
+
1
2
x
2
-2x (a＞0)
．
（1）若
a=
1
3
，求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间
(
1
2
，+∞)
上单调递增，求a的取值范围．
96952
难度：3
已知F
1
，F
2
是椭圆
C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a＞b＞0)
的左、右焦点，点
P(-
2
，
3
3
)
在椭圆C上，且PF
1
⊥F
1
F
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B两点的坐标分别是（0，2），（-1，0），若过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆过点B，求出直线l的所有方程．
96953
难度：5
已知x为正实数．
（1）比较cosx与1-
1
2
x
2
的大小；
（2）若e
x
-1＞x+ax
2
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：2e
x
+cosx＞
e
ln（x+
3
2
）+sinx+2．
96954
难度：4
已知函数f（x）=a（lnx+1）-2x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）≤3在（1，+∞）上恒成立，求证：a＜2e.（注：e
3
≈20）
96955
难度：4
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k,试求折痕所在直线的方程；
（2）当-2+
3
≤k≤0时，求折痕长的最大值．
96956
难度：2
已知A（1，1），B（-3，4），P（-1，-2），直线l经过A，B两点，我们把向量
AB
以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，则向量
PA
在直线l的法向量上的投影向量的模就是点P到直线l的距离．
（1）求直线l的一个法向量；
（2）运用上述方法，求点P到直线l的距离．
96957
难度：3
已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及
OP
=
OA
+t
AB
，求：
（1）t为何值时，P点在x轴上？P点在y轴上？P点在第二象限？
（2）是否存在这样的t值，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．
96958
难度：3
已知向量
O
P
1
、
O
P
2
、
O
P
3
满足
O
P
1
+
O
P
2
+
O
P
3
=0，|
O
P
1
|=|
O
P
2
|=|
O
P
3
|=1．求证：△P
1
P
2
P
3
是正三角形．
96959
难度：3
对于给定的正整数n,记集合R
n
={α|α=（x
1
，x
2
，x
3
，…，x
n
），x
j
∈R，j=1，2，3，…，n}，其中元素α称为一个n维向量．特别地，
0
=(0，0，…，0)
称为零向量．
设k∈R，α=（a
1
，a
2
，…，a
n
），β=（b
1
，b
2
，…，b
n
）∈R
n
，定义加法和数乘：α+β=（a
1
+b
1
，a
2
+b
2
，…，a
n
+b
n
），kα=（ka
1
，ka
2
，…，ka
n
）．
对一组向量
α
1
，
α
2
，…，
α
s
（s∈N
+
，s≥2），若存在一组不全为零的实数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=
0
，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（Ⅰ）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①
α
=(1，1，1)
，
β
=(2，2，2)
；
②
α
=(1，1，1)
，
β
=(2，2，2)
，
γ
=(5，1，4)
；
③
α
=(1，1，0)
，
β
=(1，0，1)
，
γ
=(0，1，1)
，
δ
=(1，1，1)
．
（Ⅱ）已知向量
α
，
β
，
γ
线性无关，判断向量
α
+
β
，
β
+
γ
，
α
+
γ
是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（Ⅲ）已知m（m≥2）个向量
α
1
，
α
2
，…，
α
m
线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式k
1
α
1
+
k
2
α
2
+…+
k
m
α
m
=
0
（k
i
∈R，i=1，2，3，…，m），则这些系数k
1
，k
2
，…，k
m
或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式k
1
α
1
+
k
2
α
2
+…+
k
m
α
m
=
0
，l
1
α
1
+
l
2
α
2
+…+
l
m
α
m
=
0
（k
i
∈R，l
i
∈R，i=1，2，3，…，m）同时成立，其中l
1
≠0，则
k
1
l
1
=
k
2
l
2
=…=
k
m
l
m
．
96960
难度：4
将平面直角坐标系中的一列点A
1
（1，a
1
），A
2
（2，a
2
），…，A
n
（n,a
n
），…记为{A
n
}，设f（n）=
A
n
A
n+1
•
j
，其中
j
为与y轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n,都有f（n+1）＞f（n），则称{A
n
}为T点列．
（Ⅰ）判断
A
1
(1，1)，
A
2
(2，
1
2
)，
A
3
(3，
1
3
)，⋅⋅⋅，
A
n
(n,
1
n
)，⋅⋅⋅
是否为T点列，并说明理由；
（Ⅱ）若{A
n
}为T点列，且a
2
＞a
1
.任取其中连续三点A
k
，A
k+1
，A
k+2
，证明△A
k
A
k+1
A
k+2
为钝角三角形；
（Ⅲ）若{A
n
}为T点列，对于正整数k,l,m（k＜l＜m），比较
A
l
A
m+k
•j与
A
l-k
A
m
•j的大小，并说明理由．
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