求下列函数的导函数．
（1）y=4x³+x²-lnx+1；
（2）y=

4-cosx

x2+2

；
（3）y=e^2x+1sinx.

已知直线l过点（3，2）且与直线y=-

7

2

x+1垂直，圆C的圆心在直线l上，且过A（6，0），B（1，5）两点．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C的标准方程．

设函数f（x）=ax³+x（a∈R）．
（1）若直线y=2x-1是函数y=f（x）图像的一条切线，求实数a的值；
（2）若a＞0，当x＞0时，不等式2x-6asinx＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2在x=-1处取得极值7．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[-2，4]上的最值．

已知函数f（x）=（x-2）²+alnx,a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若过点（0，4）可作曲线y=f（x）的两条切线，求实数a的取值范围．

设m为实数，函数f（x）=lnx+mx.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m=e时，直线y=ax+

b

2

是曲线y=f（x）的切线，求a+b的最小值．

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)焦距等于2

3

，且经过点(

3

，

1

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为

1

20

，试问直线PQ是否过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．

已知f（x）=

1

3

x3+ax2+bx（a,b∈R，a,b为常数）和点M（p,q），直线l：y=g（x）为函数y=f（x）在x=0处的切线方程．
（1）若a=2，b=3，求函数y=f（x）的极值；
（2）若a=0，b＜0，p＞0，试证明：当g（p）＜q＜f（p）时，过点M（p,q）可以作3条不同的直线与y=f（x）相切；
（3）y=f（x）上是否存在两个不同的点，在这两个点处的切线相同？请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，实轴长为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点P（0，t）且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若∠ANP+∠AOM=π，求点P的坐标．

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2

，左焦点F到双曲线E的渐近线的距离为

2

，过点F作直线l与双曲线C的左、右支分别交于点A、B，过点F作直线l₂与双曲线E的左、右支分别交于点C、D，且点B、C关于原点O对称．
（1）求双曲线E的方程；
（2）设B（x₀，y₀），试用x₀表示点A的横坐标；
（3）求证：直线AD过定点．