甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为

1

2

．甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为

1

4

，若核心球员在每局比赛受伤的概率为

1

2

．
（1）在核心球员一直未受伤的条件下，甲队以2：0取胜的概率；
（2）甲队以2：1取胜的概率．

如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径．
（1）甲从M到达N处的走法有多少种；
（2）甲从M必须经过A₃到达N处的走法有多少种；
（3）甲、乙以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．他们在行走途中会相遇，则共有多少种走法．

已知在(x2+

2

x

)m的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为

1

2

．
（1）求m的值；
（2）求(x2+

2

x

)m的展开式的中间两项．

已知四边形ABCD为菱形，AC=4，∠DAB=

2π

3

，沿着AC将它折成如图所示的直二面角D-AC-B，D-AC-B，

BE

=

1

4

(

AD

+

CD

)
（1）求CE；
（2）求平面CDE与平面ABC所成的二面角的余弦值．

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=

π

2

，AO=4，BO=2，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在线段AB上．
（1）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值；
（2）求CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值．

2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．
（Ⅰ）若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求P（A）和P（B）；
（Ⅱ）现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望．

“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一．南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点．
（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：

	首选传统景区	首选网红景点	总计
男性	20		30
女性		12	20

试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关；
（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4．如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d）．

P（χ2⩾k）	0.05	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2AA₁=2A₁B₁．
（1）证明：BD⊥CC₁；
（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M-AD₁-D的余弦值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90，且AC=BC=CC₁=2，点P为线段B₁C上的动点．
（Ⅰ）当P为线段B₁C中点时，求证平面ABP⊥平面AB₁C；
（Ⅱ）当直线AP与平面BCC₁B₁所成角的正切值为

3 2

2

时，求二面角P-AB-C的余弦值．

某社区对是否愿意参与2023年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各35人，参与调查的结果如下表：

	愿意参与	不愿参与
男性居民	15人	20人
女性居民	25人	10人

（1）依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为愿意参与文艺和体育活动与性别有关；
（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.050	0.010	0.001
xα	3.841	6.635	10.828