新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2.25²，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占70%，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人．
（1）请根据以上数据完成2×2列联表，并根据小概率α=0.05的独立性检验，是否可以认为“长期潜伏”与年龄有关；单位：人

	50岁以下（含50岁）	50岁以上	总计
长期潜伏	_____	_____	_____
非长期潜伏	_____	_____	_____
总计	_____	_____	_____

（2）假设潜伏期X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合3δ原则通过计算概率解释其合理性．
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.1	0.05	0.010
xα	2.706	3.841	6.635

若X～N（μ，δ²），P（μ-δ≤X≤μ+δ）≈0.6827，P（μ-2δ≤X≤μ+2δ）≈0.9545，P（μ-3δ≤X≤μ+3δ）≈0.9973．

甲、乙两人进行了一次羽毛球比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛结束．假设在一局比赛中若甲先发球，则这局甲获胜的概率是

2

3

；若乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是

1

2

．已知第1局比赛甲先发球，以后每局比赛由前1局获胜的一方先发球，且各局比赛结果相互独立，每局比赛都分出胜负．
（1）求比赛只进行3局就结束的概率；
（2）记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望．

人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：

“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况	频数
“一个”	6
“一些”	4
“一穷”	2
“一条”	2
其他	a

假设用频率估计概率．
（1）求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）

如图1，平面图形ABCDEF是由矩形ABCD和等腰梯形ADEF组合而成，AD∥EF，AB=EF=1，BC=3，∠FAD=45°．将ADEF沿AD折起，得到图2，其中M在AD上，且FM⊥平面ABCD，连接BF，CF，CE，BM，CM．

（1）证明：BF⊥CF；
（2）求直线CF与平面CDE所成角的正弦值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是棱AB，B₁C₁的中点，AC=BC=2，AA₁=3．
（1）求证：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，并求直线DE与平面ABC₁所成的角的正弦值．
条件①：BC⊥AC₁；条件②：DE⊥B₁C₁．

已知E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、CD的中点，求：
（1）A₁D与EF所成角的大小；
（2）二面角C-D₁B₁-C₁的大小；
（3）点M在棱CD上，若A₁M与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为

19

19

，请判断点M的位置，并说明理由．

某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如表的对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）作出销售额y关于广告费用支出x的散点图；
（2）建立y关于x的线性回归方程；
（3）试估计广告费用为9万元时，销售额是多少？
参考公式：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

x

-

̂

b

x．

用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个：
（1）无重复数字的四位偶数？
（2）无重复数字且个位数字不是5的六位数？
（3）无重复数字的六位数，若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则234015是该数列的第几项？

随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱．某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（x∈N^*）

乘坐站数	0＜x≤4	4＜x≤9	9＜x≤15
票价（元）	2	4	6

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．
（1）若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？

某校随机调查了100名学生，统计发现其中有60名学生喜欢户外运动，然后对他们进行了一场体育测试，得到如下不完整的2×2列联表：

项目	喜欢户外运动	不喜欢户外运动	合计
体育测试成绩非优秀	10	15
体育测试成绩优秀			75
合计			100

（1）补全2×2列联表；
（2）根据列联表分析，能否有95%的把握认为该校学生体育测试是否优秀与喜欢户外运动有关？
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001