96321 难度：3

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上顶点为B，左焦点为F，中心为O．已知T为x轴上动点，直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为(-2，

3

)，直线PT与y轴交于点Q．当T与F重合时，有|

PB

|=|

PT

|，且2

BT

=

BP

+

BQ

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T的横坐标为t,且t∈（0，1），当△DTQ面积等于

3

5

时，求t的取值．

96322 难度：3

已知函数f(x)=

ax2-lnx

x

，a∈R．
（1）当a=1时，求g（x）=xf（x）的单调区间；
（2）若f（x）有2个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：

x

2 1

+4

x

2 2

＞

5

2a

．

96323 难度：3

已知函数f（x）=

2

3

x³-（k+1）x²+2kx,g（x）=2kx+1（其中k∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）有三个根，求k的取值范围．

96324 难度：4

如图，已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下顶点为M（0，1），N（0，-1），右顶点为P，离心率为

3

2

，直线x=a和y=b相交于点A，过N作直线交x轴的正半轴于B点，交椭圆于C点，连接MC交AP于点D．
（1）求Γ的方程；
（2）求证：

|OB|

|BP|

=

|AD|

|DP|

．

96325 难度：5

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c.
（1）设a=b=4，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：a²-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件；
（3）设a=0，b=

5

2

，c=-1，证明：函数f（x）恰有一个零点r,且存在唯一的严格递增正整数数列{a_n}，使得

2

5

=ra1+ra2+ra3+⋯．

96326 难度：2

已知直线l₁：mx+3y+1=0，l₂：x+（m+2）y+2m-1=0．
（1）若l₁∥l₂，求实数m的值；
（2）若直线l₂在两个坐标轴上的截距相等，求实数m的值．

96327 难度：3

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（2，0），点F到C的渐近线的距离为1．
（1）求C的方程．
（2）若直线l₁与C的右支相切，切点为P，l₁与直线l2：x=

3

2

交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得MP⊥MQ？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

96328 难度：2

已知等比数列{a_n}的前n项和Sn=2n+a．
（1）求实数a的值；
（2）若S_m=127，求m.

96329 难度：2

若直线y=-x+t是曲线y=x²-3lnx的一条切线，求t的值．

96330 难度：2

已知函数f（x）=lnx-ax,a∈（0，1）．
（1）若a=

1

2

时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值．