阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏省，蟹身青壳白肚，金爪黄毛，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批质量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其质量（单位：克），得到的结果如表所示：

规格	中蟹		大蟹		特大蟹
质量/克	[160，180）	[180，200）	[200，220）	[220，240）	[240，260）	[260，280]
数量/只	3	2	15	20	7	3

（1）试用组中值来估计该批大闸蟹的平均质量，并估算这批大闸蟹有多少只；（结果保留整数）
（2）某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记质量在区间[260，280]内的大闸蟹数量为X，求X的概率分布列和均值．

为了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如下的列联表．

	患有颈椎疾病	没有患颈椎疾病	合计
白领		5
蓝领	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为

3

5

．
（1）请完成上面列联表；并据此判断是否有99.5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质有关？
（2）已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3人工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d,

α	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
xα	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物卡．该商场在一个纸箱里放15个小球（除颜色外其余均相同）：3个红球、5个黄球和7个白球，每个顾客不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球获得一张A类购物卡，每拿到一个黄球获得一张B类购物卡，每拿到一个白球获得一张C类购物卡．
（1）已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有1次抽到红球的概率；
（2）设拿到红球的次数为X，求X的分布列和数学期望．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，A₁A=A₁B=A₁C=2，∠BAC=90°，E是BC的中点，F是线段A₁C₁上一点．
（1）求证：AB⊥EF；
（2）设P是棱AA₁上的动点（不包括边界），当△PBC的面积最小时，求直线PC₁与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1，且直线PB与CD所成角的大小为

π

3

．
（1）求BC的长；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=8，点M在棱PD上，且PA²=PM•PD，AM⊥MC．
（1）求证：CD⊥平面PAD；​
（2）求BM与平面ACM所成角的余弦值．

如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2，CF=

8

7

．
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．

如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，四边形PACQ为矩形，PA=1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
①BP，DP与平面ABCD所成角相等；②三棱锥P-ABD体积为

3

3

；③cos∠BPA=

5

5

（1）平面PACQ⊥平面ABCD．
（2）求点C到平面BPQ的距离．
（3）求二面角B-PQ-D的大小；

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，侧面ABB₁A₁是正方形，且平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A₁BC所成的角为

π

6

，E为线段A₁C的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小．

如图所示，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥BD，AB=BD=2，AE=1，M为线段AB上一动点．
（1）若M为线段AB的中点，证明：ED⊥MC．
（2）若AM=3MB，求二面角D-CM-E的余弦值．