如图，已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，点A₁在底面ABCD的射影为O，且AD=BC=CD=AA₁=1，AB=2，A₁O=

1

2

，AA₁⊥BC．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ACC₁A₁；
（2）已知点M满足

D1M

=λ

D1B1

，λ∈（0，1），且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为

21

7

，求直线A₁M与平面MBC所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，DC=4，DC∥AB，AD⊥AB，E是PD的中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求AC与平面ABE所成的角的正弦值．

某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球．
（1）求恰有4次命中的概率；
（2）求至多有4次命中的概率；
（3）设命中的次数为X，求E（X）．

李同学在暑假期间进行一项社会实践活动，随机抽取了80名喜爱身体锻炼的年轻人，调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式，得到如下数据不完整的列联表：

	将跑步作为主要锻炼方式	不是将跑步作为主要锻炼方式	合计
男性	20	20	_____
女性	_____	30	_____
合计	_____	_____	80

（1）请将列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？
（2）在被调查的80人中，从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取5人参加体育健身学习活动，再从中选取2人作为代表发言，求选取的2名代表都为女性的概率．
附：参考公式及数据：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.40	0.25	0.10	0.010	0.005	0.001
k0	0.708	1.323	2.706	6.635	7.879	10.828

2023年五一劳动节放假5天，随着疫情的结束和天气转暖，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”“乡村游”，等旅游新业态火爆，为旅游行业发展注人了新活力，旅游预订人数也开始增多．为了调查游客预订旅游与年龄是否有关，调查组对300名不同年龄段的游客进行了问卷调查，得到数据如下表：

	预订旅游	不预订旅游	合计
16～54岁（含45岁）		100
45岁以上	80
合计			300

已知在所有被调查的游客中随机抽取1人，抽到不预订旅游的游客概率为

7

15

．
（1）请将2×2列联表补充完整，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是否预订旅游与年龄有关？请说明理由．
（2）以年龄为分层标准，按照分层抽样的方法，从被调查的游客中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求2人中恰有1人是45岁以上的概率．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等多项指标出现好转，但肥胖、近视等问题依然严重，体育事业任重道远．某学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生的成绩（单位：秒）作为样本，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数

x

；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X∼N（μ，σ²），其中μ近似为女生短跑平均成绩

x

，σ²近似为样本方差s²，经计算得s²=5.79，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在（11.34，20.98）内的人数为Y，求P（Y⩽8）（结果保留2位有效数字）．
参考数据：随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X⩽μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜X⩽μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜X⩽μ+3σ）=0.9974，

5.79

≈2.41，0.682710≈0.0220，0.9545¹⁰≈0.6277，0.9974¹⁰≈0.9743，0.6827⁹≈0.0322，0.9545⁹≈0.6576．

在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB=2

2

，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC=2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB=4．
（1）证明：FO⊥平面ABC．
（2）求二面角E-FA-C的余弦值．

如图，在四面体ABCD中，∠BAC=∠BDC=∠ACD=3∠DBC=

π

2

，AB=AC．
（1）若B到平面ACD的距离为3，求三棱锥A-BCD的高；
（2）求AB与平面ACD所成角的大小．

某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”．
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“〇”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“〇”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画〇，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度=

企业所有对新绩效方案满意的员工人数

企业所有员工人数

×100%．
（1）求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率；
（2）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式一回答问卷的人数，求X的数学期望；
（3）若该企业的所有调查问卷中，画“〇”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC．
（1）证明：a=2b；
（2）若16cosAcosB=5，△ABC的面积为S=

3 7

2

，求△ABC的周长．