如图，平面五边形ABCDE由等边三角形ADE与直角梯形ABCD组成，其中AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，CD=

3

，将△ADE沿AD折起，使点E到达点M的位置，且BM=a.
（1）当a=

6

时，证明AD⊥BM并求四棱锥M-ABCD的体积；
（2）已知点P为棱CM上靠近点C的三等分点，当a=3时，求平面PBD与平面ABCD夹角的余弦值．

为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分X～N（μ，12²），为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．

杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举办．为迎接这一体育盛会，浙江某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，当好东道主”的亚运知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了200人，统计他们的竞赛成绩m（满分100分，已知每名参赛大学生至少得60分），制成了如下所示的频数分布表：

成绩/分	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
人数	60	70	50	20

（1）规定成绩不低于85分为“优秀”，成绩低于85分为“非优秀”，这200名参赛大学生的成绩的情况统计如下表：

分类	优秀	非优秀	总计
男生	30	70	100
女生	20	80	100

判断是否有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关；
（2）经统计，用于学习亚运知识的时间（单位：时）与成绩（单位：分）之间的关系近似为线性相关关系，对部分参赛大学生用于学习亚运知识时间x与知识竞赛成绩y进行数据收集，如下表：

x/时	8	9	11	12	15
y/分	67	63	80	80	85

求变量y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（3）A市某企业赞助了这次知识竞赛，给予每位参赛大学生一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩m进行分类奖励，当m＜80时，奖励100元；当80≤m＜90时，奖励200元；当m≥90时，奖励300元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有1次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的则有2次抽奖机会，其中每次抽奖抽中100元现金红包的概率均为

3

4

，抽中200元现金红包的概率均为

1

4

，且两次抽奖结果相互独立．
若每名参赛大学生只能选择一种奖励方案，试用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择哪种奖励方案更有利．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d）；

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

；
第（2）问中，

x

=11，

y

=75，

5

i=1

xiyi=4218，

5

i=1

x

2 i

=635．

如图，在正方体ABCD-EFGH中，N是CG的中点，P是△FHN内部或边界上的点．
（1）证明：CE∥平面FHN；
（2）求直线CP与平面FHN所成角的正弦值的取值范围．

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均相等，D为AA₁的中点．
（1）证明：B₁D⊥BC₁；
（2）设M，N分别是棱AC，BC上的点，若点B₁，D，M，N在同一平面上，且△ABC的面积是△CMN的面积的3倍，求二面角A-B₁M-N的正弦值．

在三棱锥P-ABC中，AB=2

2

，BC=1，AB⊥BC，直线PA与平面ABC所成角为

π

6

，直线PB与平面ABC所成角为

π

3

．
（1）求三棱锥体积的取值范围；
（2）当直线PC与平面ABC所成角最小时，求二面角P-AB-C的平面角的余弦值．

已知函数f（x）=

2x x+1

，g（x）=

sinx

x

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：-

1

4

＜g（x）＜1；
（3）设x₁=

2

，x_n+1=f（x_n），证明：x₁x₂…x_n＜

π

2

．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过圆C′：x²+y²-4y+3=0的圆心，C的左焦点F到圆C'上的点的距离的最小值为

5

-1．
（1）求C的标准方程．
（2）过点F作斜率之积为-1的两条直线l₁，l₂，l₁与C相交于A，B两点，l₂与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足2

FP

=

FA

+

FB

，2

FO

=

FM

+

FN

，问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F₁发出的光线，经过两次反射之后回到点F₁，光线经过的路程为8，T的离心率为

3

2

．
（1）求椭圆T的标准方程；
（2）设D（x_D，0），且x_D＞a,过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，F₂是T的右焦点，且∠DF₂M与∠DF₂N互补，求△MNF₂面积的最大值．

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的右焦点为F，上顶点为B，点P（2，1），且PF⊥BF．
（1）求C的方程；
（2）过P的直线交C于M，N两点，证明：直线BF平分∠MFN．