根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：

X	1	2	3	0
P	a p	a	a（1-p）	a（1-p）2

（其中a＞0，0＜p＜1）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为

1

2

，且相互独立，事件A_i表示一个家庭有i个孩子（i=0，1，2，3），事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）．
（1）若p=

1

2

，求a,并根据全概率公式(P(B)=

n

i=1

P(B|Ai)P(Ai))求P（B）；
（2）是否存在p值，使得E(X)=

5

3

，请说明理由．

某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．己知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图频率分布直方图：

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ²=362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
（3）复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k（k=1，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
附：若Z∼N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973；

362

≈19．

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得m（0＜m≤100，m∈N）分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得n（0＜n≤100，n∈N）分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为p₁，能正确回答B类问题的概率为p₂，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若学生甲先回答A类问题，m=20，n=80，p₁=0.8，p₂=0.6，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．
（2）从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①m=n,p₁＞p₂；②p₁=p₂，m＞n.

如图①：在△ABC中，AB=BC=5，∠ABC=90°，DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB=60°．
（1）请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）
（2）证明；平面PBC⊥平面PBE；
（3）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．

2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．

某校为了分析新教学模式与传统教学模式的差异，同时对采用两种教学模式的学生进行了一次专题测试，其中传统教学模式与新教学模式分别有160名、250名学生参与测试，得到如下数据：

	优秀	不优秀	1
传统教学模式	40	120	12=
新教学模式	120	130	2=
合计	160	250	410

（1）传统教学模式、新教学模式下学生测试成绩优秀的频率分别是多少？
（2）能否有99%以上的把握认为成绩是否优秀与教学模式有关？
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

小明是个爱存钱的小朋友．已知存钱罐里有1元钱，从第1天开始，每天小明以（1-p）的概率往存钱罐中存入1元钱，以p的概率从存钱罐中取出f（n）元钱购买喜欢的玩具，这里f（n）表示玩具在第n天的价格．假设小明在第X天取钱购买玩具时，发现存钱罐中的钱不足够．
注：当0＜x＜1时，

1

1-x

=

+∞

n=0

xn，

1

(1-x)2

=

+∞

n=1

nxn-1．
（1）若f（n）=n+1，求E（X）；
（2）若f（n）=n,且小明希望存钱罐中的钱不足能购买玩具时，存钱罐中剩余的钱越多越好，那么小明应该提高还是减小取钱购买玩具的概率p,并给出理由．

某中学为了调查学生每周运动时长，随机从全校男生和女生中各抽取了90名学生进行问卷调查，并对每周不同运动时长所对应的人数进行了统计，得到如表数据：

	每周平均运动时长少于7小时	每周平均运动时长不少于7小时
男生	45	45
女生	60	30

（1）能否有99%的把握认为男生与女生每周平均运动时长有差异？
（2）现随机从全校男生和女生中各随机抽取2名学生，记其中男生和女生中每周平均运动时长不少于7小时的人数分别为X，Y，且记Z=X-Y，证明：E（Z）=E（X）-E（Y）．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐，开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下数据：

	A款盲盒套餐	B款盲盒套餐
年龄低于30岁	18	30
年龄不低于30岁	22	10

（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为A、B款盲盒套餐的选择与年龄有关联？
（2）甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量ξ为其中隐藏款X的个数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
χα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

为了解中学生的阅读情况，现随机抽取了某重点中学100人，调查他们是否喜爱阅读，统计人数如表：

	喜爱阅读	不喜爱阅读	共计
女生	45		50
男生		15
共计

（1）根据2×2列联表中数据判断是否有97.5%的把握认为“喜爱阅读与性别有关”？
（2）现进行一项阅读答题测试，测试规则：若该同学连续三次答对，则测试通过，答题结束；若出现连续两次答错，则未通过测试，答题结束．其余情况下可以一直答题，直至出现前面两种情况．已知该同学每次答对的概率为

3

5

，求该同学通过测试的概率．
参考附表：

P（K2≥k）	0.050	0.025	0.010
k	3.841	5.024	6.635

参考公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.