已知正项等差数列{a_n}，公差为d,前n项和为S_n，若{

Sn

}也是公差为d的等差数列，则a₁=__________．

已知O为坐标原点，F为抛物线y²=2px的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设△AOF，△ADB的面积分别为S₁，S₂，则

S1

S2

=__________．

等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），其前n项和为S_n，且a₁=1，a₁+a₄=a₂+a₃．若{Sn+

t

2

}仍为等比数列，则t=__________．

圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F₂发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F₁．已知入射光线F₂P的斜率为-2，且F₂P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线C的渐近线方程为 __________．

已知数列{a_n}是等差数列，A（-1，0），B（2，1），过点A作直线l：a_n-1x+a_ny+a_n+1=0的垂线，垂足为点C，则BC的最大值为 __________．

在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足

|PA|

|PB|

=λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，A，B为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足

|PB|

|PA|

=2，△PAB面积的最大值为4．点S，T在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QS和QT的斜率满足k_QS•k_QT=3，则双曲线方程是 __________；过F₂的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为△CF₁F₂、△DF₁F₂的内心，则|MN|的范围是 __________．

设f（x）为定义在R上的可导函数，其导函数f′（x）为偶函数，若对任意x∈R有f(

1+x

2

)=f(

1-x

2

)，且f（2023）=3，则f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)=__________．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₆+a₇=1，S₅=55，则公差为 __________．

过抛物线C：y²=4x的焦点作直线l,l交C于M、N两点，若线段MN中点的纵坐标为2，则|MN|=__________．

已知F₁，F₂分别为椭圆

x2

100

+

y2

b2

=1(0＜b＜10)的左、右焦点，直线l过点F₁与椭圆交于A，B两点．
（1）△ABF₂的周长为 __________．
（2）若∠F₁AF₂=60°，且△F₁AF₂的内切圆半径为

4 3

3

，则椭圆焦距为 __________．