已知双曲线C：

x2

3

-y2=1，若直线l的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若|MN|=

3

2

，则点P的坐标为 __________．

在平面直角坐标系xOy中，圆A：（x-3）²+（y-1）²=1，B（3，2），C为圆A上的个动点，M为BC中点，若点P在以BC为直径的圆M上，则P到x轴距离的最大值为 __________．

古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立．已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，双曲线上关于原点对称的两点A，B满足|AB|•|F₁F₂|=|AF₁|•|BF₂|+|AF₂|•|BF₁|，若∠AF₁F₂=

π

6

，则双曲线的离心率为 __________．

已知函数f（x）=ae^2x与g（x）=2bsinx+a（0＜x＜π），若曲线y=f（x）和y=g（x）恰有一个公切点，则

a

b

的最小值是 __________．

设P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1右支上的一个动点，F₁、F₂为左、右两个焦点，在△PF₁F₂中，令∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，则tan

α

2

：tan

β

2

的值为 __________．

明年是我校建校120周年，也是同学们在南开的最后一年，欧阳南德与上官索爱同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于南开园的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：

在这盒子中有一枚我们留下的微章，它由“N”，“K”两个字母组合而成．其中“N”蕴含在函数f(x)= 1 2 x3+3x2+x-1的图象中，过点P（-6，a）与曲线y=f（x）相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数a的个数，这就是打开盒子的密码：__________．

已知函数f（x）=x³-3ax+1，g（x）=x²-x-a²-a,若关于x的方程g[f（x）]=0恰好有6个不同实根，则实数a的取值范围为（　　）

已知椭圆

x2

9

+

y2

6

=1，F₁，F₂为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F₁PF₂=

3

5

，则|PO|=（　　）

已知函数f（x）=e-(x-1)2．记a=f（

2

2

），b=f（

3

2

），c=f（

6

2

），则（　　）

比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点A，若平行光与桌面夹角为30°，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为（　　）