已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，抛物线C₂：x²=8y的准线与C₁相交，所得弦长为2

6

．
（1）求C₁的方程；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在C₂上，且x₁＜0＜x₂，分别以A，B为切点，作C₂的切线相交于点P，点P恰好在C₁上，直线AP，BP分别交x轴于M，N两点．求四边形ABMN面积的取值范围．

已知点O（0，0），点F（0，1），点M是x轴上的动点，点N在y轴上，直线MN与直线MF垂直，N关于M的对称点为P．
（1）求P的轨迹Γ的方程；
（2）过F的直线l交Γ于A，B两点，A在第一象限，Γ在A处的切线为l′，l′交y轴于点C，过C作OB的平行线交l于点D，∠ACD是否存在最大值？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

3

2

，A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，且|A₁A₂|=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O为坐标原点，过F₂的直线l与椭圆C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值；
（3）若椭圆上另有一点M，使得直线MA₁与A₂B斜率k₁、k₂满足k₂=2k₁，请分析直线BM是否恒过定点．

已知函数f（x）=ln（px-m）-plnx,其中p,m＞0．
（1）若x=4时，f（x）有极值-ln2，求p,m的值；
（2）设m≤p-1，讨论f（x）的零点个数．

已知函数f（x）=（e^x-1）（2+cosx）-3asinx.
（1）当a=1时，讨论f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；
（2）若∀x∈[-

3π

4

，+∞)，f(x)≥0，求a的值．

已知函数f（x）=xe^x-a（x+lnx），其中a＞0，e为自然对数的底数．
（1）若f（x）⩾1，求实数a的值；
（2）证明：x²e^x＞x（2+lnx）-2（1-sinx）．

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+1）+1，h（x）=kx+b（k,b∈R）．
（1）若直线y=h（x）是曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公切线，求h（x）的解析式；
（2）若f(x)≥h(x)≥

g(x-1)

x

+1对x∈（0，+∞）恒成立，试问直线y=h（x）是否经过点（-1，-1）？请说明理由．

已知定义在R上的函数f(x)=

x2

2

+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）当0＜x＜1时，若不等式

sinx

x

＞

a

x+2

恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若n∈N^*，证明：

n

k=1

cos 1 4 k -1

2 k -1

＞

n+1

-1．

设函数f（x）=ax³+x（a∈R）．
（1）若直线y=2x-1是函数y=f（x）图像的一条切线，求实数a的值；
（2）若a＞0，当x＞0时，不等式2x-6asinx＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当n≥2时，求证：2sin

1

2

+3sin

1

3

+4sin

1

4

+⋯+nsin

1

n

＞n+

1

6n

-

7

6

．

已知函数f（x）=e^-x（x+1）
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设t₁，t₂为两个不等的正数，t₁＜t₂且t₂lnt₁-t₁lnt₂=t₁-t₂，若不等式lnt₁+λlnt₂＞0恒成立，求实数λ的取值范围．