已知椭圆E：

x2

2

+y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过T（2，0）的直线l交E于A，B两点，且A在线段TB上．
（1）求直线AF₂，BF₂的斜率之和；
（2）设AF₁与BF₂交于点P，证明：|PF₁|-|PF₂|为定值．

记f'（x），g'（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x₀∈R，满足f（x₀）=g（x₀）且f'（x₀）=g'（x₀），则称x₀为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x²+2x-2不存在“S点”；
（2）若函数f（x）=ax²-1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数f（x）=-x²+a,g（x）=

bex

x

．对存在实数a＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，求实数b的取值范围．

设函数f（x）=e^x-ax,x≥0且a∈R．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥x²+1恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=a（x-1）-lnx.
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若x≥1时，f（x）有两个零点，求a的取值范围．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS=60°．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F₁QF₂的角平分线记为l,过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求

|ME|

|MN|

的最大值．

已知函数f（x）=e^x-ax²+e²x有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：

x1x2

＜ln2a．

已知两直线l₁：（3-m）x+2my+1=0，l₂：2mx+2y+m=0．当m为何值时，l₁和l₂．
（1）平行；
（2）垂直．

已知函数f（x）=alnx+

1

2

x2-（a+1）x（a为常数），讨论f（x）的单调性．

已知函数f（x）=

a

2

e^2x+（a-2）e^x-

x2

2

．
（1）讨论函数f（x）的导数的单调性；
（2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）为f（x）的极值点，证明：x₂-x₁＜ln（3-a）-lna+

2

a

-1．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l与E交于A，B两点，△ABF₂的周长为8．且点（-1，

3

2

）在E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与圆O：x²+y²=a²交于C，D两点，当|CD|∈[2

3

，

2 33

3

]时，求△ABF₂面积的取值范围．