已知f（x）=x²+ax,g（x）=lnx有且仅有一条公切线l.
（1）求f（x）的解析式，并比较f（x）与g（x）的大小关系．
（2）证明：

n

i=1

i+1

i2

＞ln(n+1)，n∈N₊．

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小值为 __________．

已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（-2

5

，0），离心率为

5

．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A₁，A₂，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA₁与NA₂交于P，证明P在定直线上．

设函数f（x）=cosx-1+ax²（x≥0）．
（1）若f（x）最小值为0，求a的范围；
（2）令g（x）=sinx,g（x）图象上有一点列Ai(

1

2i

，g(

1

2i

))（i=1，2，…，n；n∈N^*），若直线A_iA_i+1的斜率为k_i（i=1，2，…，n-1），证明：k₁+k₂+…+k_n-1＞n-

7

6

．

已知f（x）=（x-1）²e^x-

a

3

x3+ax(x＞0)(a∈R)．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=0时，判定函数g（x）=f（x）+lnx-

1

2

x2零点的个数，并说明理由．

已知函数f(x)=alnx-

1

2

x2．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）存在两个零点x₁，x₂，且曲线y=f（x）在（x₁，0）和（x₂，0）处的切线交于点（x₀，y₀）．
①求实数a的取值范围；
②证明：x₁+x₂＞2x₀．

如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为

3

，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为

1

2

的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．
（1）求椭圆及双曲线的标准方程；
（2）设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得x_P=4x_T（其中x_P，x_T为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点为F₁（-1，0），其左顶点为A，上顶点为B，且F₁到直线AB的距离为

7

7

|OB|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=λ(λ＞0且λ≠1)，则称椭圆E为椭圆C的λ倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线l：y=kx+m与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且

MQ

+

PQ

=2

NQ

，证明：点T（k,m）在定曲线上．

化简求值
（1）(2

7

9

)0.5+0.1^-2+(2

10

27

)-

2

3

-3π⁰+

37

48

；
（2）log₃27+lg25+lg4-7log72-log₃2⋅log₄3．

（1）(

9

4

)

1

2

-(2+

3

)0-(

27

8

)

2

3

+(

1

10

)-1；
（2）lg2lg50+lg5lg20-2lg5lg2．