已知函数f（x）=lnx,g（x）=x²-x+2．
（1）求函数y=g（x）-f（x）的最小值；
（2）过点F(

1

2

，2)的直线l与交y=g（x）于A、B两点，求证：

1

|FA|

+

1

|FB|

为定值；
（3）求证：有且只有两条直线与函数f（x），g（x）的图像都相切．

已知关于x方程a（1+2x）cos2x=2在区间(-

1

2

，0)内有且只有一个解．
（1）求实数a的取值范围；
（2）如果函数f（x）=asinxcosx-ln（1+2x），求证：f（x）在(0，

π

2

)上存在极值点x₀和零点x₁；
（3）对于（2）中的x₀和x₁，证明：a（1+2x₀）cosx₁＞2．

设a＞-1，函数f（x）=（x+1）lnx+（a-1）x+1．
（1）判断f（x）的零点个数，并证明你的结论；
（2）若a≥0，记f（x）的一个零点为x₀，若x₁+a=sinx₁，求证：x₁-lnx₀≤0．

已知函数f(x)=

a

x2

，g(x)=

lnx

x

．
（1）若h（x）=f（x）+g（x）在[

1

e

，e]单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）的极值点为x₀，设φ（x）=x[f（x）+g（x）]，且φ（x₁）=φ（x₂）=3，（x₁≠x₂）证明：x0x1x2＜ae3．

已知函数f(x)=

a

x2

，g(x)=

lnx

x

．
（1）若f（x）在点M（1，f（1））处的切线与直线x-2y+2=0垂直，求该切线方程；
（2）若g（x）的极值点为x₀，设φ（x）=x[f（x）+g（x）]，且φ（x₁）=φ（x₂）=3，（x₁≠x₂）证明：x0x1x2＞ea2．

已知函数f（x）=（

1

x

+a）ln（1+x）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在a,b,使得曲线y=f（

1

x

）关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由；
（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围．

贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ：x²=2py,其中p＞0为一给定的实数．
（1）写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；
（2）若直线l：y=kx-2pk+2p与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
（3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：

|AD|

|DE|

=

|EF|

|FC|

=

|DB|

|BF|

．

已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为-

1

4

．记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）设P，Q为曲线C上的两动点，直线AP的斜率为k_AP，直线BQ的斜率为k_BQ，且k_AP=7k_BQ．
①求证：直线PQ恒过一定点；
②设△PQB的面积为S，求S的最大值．

已知b＜a＜0，则下列不等式正确的是（　　）

已知a,b∈R，满足e^a+e^b=4，则（　　）