已知平面四边形ABCE（图1）中，△ACE，△ABC均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，AB=AC=4，AEC=90°，沿AC将△ACE翻折至△ACD的位置（图2），拼成三棱锥D-ABC．
（1）求证：平面ABC⊥平面DMN；
（2）当二面角D-AC-B的平面角为60°时，求直线DN与平面ABD所成角的正弦值．

如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PB=PC，D为AB的中点．
（1）证明：BC⊥PD；
（2）若AC=BC=1，PA=

3

2

，PB=

5

2

，求三棱锥P-ACD的体积．

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，D为BC的中点，点E在AA₁上，AD⊥DC₁．
（1）求证：BC⊥面A₁AD；
（2）若二面角A₁-DE-C₁大小为30°，求以A₁、E、D、C₁为顶点的四面体体积．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，C₁B₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q．求证：
（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A₁C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AB=AP=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为

1

3

，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E-ABG体积．

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，F为AE的中点．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求三棱锥E-BDF的体积．

用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知A′B′=4，B′C′=1，A′D′=

5

2

，且AD′∥B′C′．
（1）求原平面图形ABCD的面积；
（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，三角形PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．E，M 分别为线段AB，PD的中点．
（1）求证：PB∥平面ACM；
（2）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．

三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直．
（1）设直三棱锥A-BCD外接球的半径为R，证明：R=

2BC2+2CD2+2DB2

4

；
（2）若直三棱锥A-BCD外接球的表面积为64π，求S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值．

如图，圆锥的底面半径r=1，母线SA的长为3，E为SA上靠近A的一个三等分点，从点A拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点E．
（1）求绳子的最短长度；
（2）过E点作一个与底面平行的截面，将圆锥分为上、下两部分，其体积分别为V₁，V₂，求

V1

V2

．