已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点P(1，

2

2

)记椭圆的左顶点为M，右焦点为F．
（1）若椭圆C的离心率e∈(0，

1

2

]，求b的范围；
（2）已知a=

2

b，过点F作直线与椭圆分别交于E，G两点（异于左右顶点）连接ME，MG，试判定EM与EG是否可能垂直，请说明理由；
（3）已知a=

2

b，设直线l的方程为y=k（x-2），它与C相交于A，B．若直线AF与C的另一个交点为D．证明：|BF|=|DF|．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且过点A(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为

1

2

的直线l交椭圆于P，Q（P，Q不与A重合）两点，直线AP，AQ分别交x轴于点M，N，求证：|AM|=|AN|．

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1(-

2

，0)和F2(

2

，0)，Γ的下顶点为A，直线l：x+y-4

2

=0，点M在l上．
（1）若a=2，线段AM的中点在x轴上，求M的坐标；
（2）若直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F₂，在△ABM中有一个内角的余弦值为

3

5

，求b；
（3）在椭圆Γ上存在一个点P（acosθ，bsinθ）（θ∈[0，2π]），P到l的距离为d,使|PF₁|+|PF₂|+d=6，当a变化时，求d的最小值．

已知函数f(x)=

bsinx+c

ax

(a＞0，a≠1)，当a=e,b=1时，曲线y=f（x）在x=0处的切线与x轴平行．
（1）求c；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）≤1，证明：a≥eb.

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为（-1，0），且a=

2

b．
（1）求椭圆E的方程；
（2）斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，设点P（-2，0），直线PA，PB分别与椭圆E交于不同的点M，N，若M，N和点Q(-

3

2

，

1

2

)共线，求k的值．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．
（1）求△AF₁F₂的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与直线x=4相交于点Q，求

OP

⋅

QP

的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁、S₂，若S₂=3S₁，求点M的坐标．

已知函数f(x)=

x-asinx

ex

(a∈R)在x=π处的切线方程为（π-2）x+e^xy+π-π²=0．
（1）若a；
（2）证明g(x)=f(x)-

1

2e2

有两个零点．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=2，CD=1，动点P在BC上，且满足

AP

=m

AB

+n

AD

（m,n均为正实数）．
（1）求m与n之间的关系式；
（2）求

1

m

+

1

n

的最小值．

若x＞-2，求：x+

2

x+2

的最小值．

解关于x的不等式．
（1）2x²-x-6＞0；
（2）-2x²+x+3≥0；
（3）x²-3x-2＜0．